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四面体OABCにおいて,OA=2,OB=√2,OC=1であり,∠AOB=π/2,∠AOC=π/3,∠BOC=π/4であるとする.また,3点O,A,Bを含む平面をαとし,点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点をH,平面αに関してCと対称な点をKとする.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルc・・・
国立 山形大学 2012年 第1問k>0とする.原点をOとする座標平面において,2点A,Bは曲線y=1/kx2上にあり,かつ△OABは正三角形とする.また,△OABの内接円をSとし,Cをその中心とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)中心Cの座標を求めよ.
(2)円Sの方程式を求めよ.
(3)Tを中心D(3k,-2k),半径kの円とする.T上の点Pから円Sへ2本の接線を引いて,その接点をE,Fとする.線分CPの長さ・・・
国立 山形大学 2012年 第4問k>0とする.原点をOとする座標平面において,2点A,Bは曲線y=1/kx2上にあり,かつ△OABは正三角形とする.また,△OABの内接円をSとし,Cをその中心とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)中心Cの座標を求めよ.
(2)円Sの方程式を求めよ.
(3)Tを中心D(3k,-2k),半径kの円とする.T上の点Pから円Sへ2本の接線を引いて,その接点をE,Fとする.線分CPの長さ・・・
国立 京都教育大学 2012年 第4問空間において成分表示された3つのベクトルを
ベクトルa=(\frac{√3+1}{2},1,\frac{√3-1}{2}),ベクトルb=(1,0,1),ベクトルc=(1,0,-1)
とする.これに対して原点Oに関する位置ベクトルが
ベクトルa+(cost)ベクトルb+(sint)ベクトルc
である点Pを考える.次の問に答えよ.
(1)内積ベクトルa・ベクトルa,ベクトルa・ベクトルb,ベクトルa・ベクトルc,ベクトルb・ベクトルb,ベクトルb\cd・・・
私立 東京理科大学 2012年 第3問原点をOとする座標平面上に2点A,Bがあり,2つのベクトルベクトルOA,ベクトルOBが
|ベクトルOA|=2√3,|ベクトルOB|=\sqrt{15},ベクトルOA・ベクトルOB=8
を満たしているとする.ここで,|ベクトルOA|,|ベクトルOB|はそれぞれベクトルOA,ベクトルOBの大きさを表し,ベクトルOA・ベクトルOBはベクトルOAとベクトルOBの内積を表すものとする.
(1)ベクトルOAとベクトルOBのなす角をθとおくと
cosθ=\frac{[ア]}{[イウ]・・・
私立 北海学園大学 2012年 第4問空間における3点A(3,1,-1),B(1,3,2),C(2,1,0)を頂点とする三角形ABCについて,次の問いに答えよ.
(1)ベクトルベクトルCAとベクトルCBの内積を求めよ.
(2)ベクトルCAとベクトルCBのなす角θを求めよ.
(3)三角形ABCの面積Sを求めよ.
私立 北海学園大学 2012年 第6問三角形ABCにおいて,ベクトルBC=ベクトルa,ベクトルCA=ベクトルb,ベクトルAB=ベクトルcとする.これらの内積がベクトルa・ベクトルb=-7,ベクトルa・ベクトルc=-4,ベクトルb・ベクトルc=-6であるとき,次の問いに答えよ.
(1)ベクトルcをベクトルaとベクトルbを用いて表せ.
(2)三角形ABCの3辺の長さをそれぞれ求めよ.
(3)cosA,sinAの値と三角形ABCの面積Sをそれぞれ求めよ.
私立 南山大学 2012年 第2問座標空間に3つの点A(4,5,4),B(6,2,2),C(2,1,3)がある.
(1)3つの内積ベクトルAB・ベクトルAC,ベクトルBA・ベクトルBC,ベクトルCA・ベクトルCBを求めよ.
(2)△ABCは鋭角三角形,直角三角形,鈍角三角形のいずれになるか,(1)の結果を用いて示せ.
(3)点P(a,b,0)から,A,B,Cまでの距離がそれぞれ\sqrt{18},\sqrt{17},\sqrt{19}であるとき,a,bの値を求めよ.
私立 東京理科大学 2012年 第2問Oを原点とする座標平面において,点(1,1)を点(5,5)に,点(1,-7)を点(-3,21)に移す1次変換をfとする.fによる点Pの像を点Qとするとき,Pに対して内積の条件
ベクトルOP・ベクトルPQ=0(*)
を考える.
(1)fを表す行列を求めよ.
(2)条件(*)を満たす点P(x,y)の軌跡は2直線となる.この2直線の方程式を求めよ.
実数a≧0に対して,
「点(a,0)を中心とする半径1の円周上の点Pで,条件(\a・・・
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の文章中の[ア]から[ヒ]までに当てはまる数字0~9を求めよ.ただし,分数は既約分数として表しなさい.
(1)aを実数とするとき,方程式
|x|-|x2-4|+|x+6|=a
を考える.この方程式の実数解が2個であるための条件は
a<[ア],[イ]<a<[ウ][エ]
であり,実数解を持たないための条件は
a>[オ][カ]
である.また,次の不等式
|x|-|x2-4|+|x+6|>2
には,正の整数解が[キ]個,負の整数解が[ク]個あ・・・