「内積」について

　国立 福井大学 2012年 第2問

四面体OABCにおいて，OA=2，OB=√2，OC=1であり，∠AOB=π/2，∠AOC=π/3，∠BOC=π/4であるとする．また，3点O，A，Bを含む平面をαとし，点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点をH，平面αに関してCと対称な点をKとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルc・・・

　国立 山形大学 2012年 第1問

k＞0とする．原点をOとする座標平面において，2点A,Bは曲線y=1/kx2上にあり，かつ△OABは正三角形とする．また，△OABの内接円をSとし，Cをその中心とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)中心Cの座標を求めよ．
(2)円Sの方程式を求めよ．
(3)Tを中心D(3k,-2k)，半径kの円とする．T上の点Pから円Sへ2本の接線を引いて，その接点をE,Fとする．線分CPの長さ・・・

　国立 山形大学 2012年 第4問

k＞0とする．原点をOとする座標平面において，2点A,Bは曲線y=1/kx2上にあり，かつ△OABは正三角形とする．また，△OABの内接円をSとし，Cをその中心とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)中心Cの座標を求めよ．
(2)円Sの方程式を求めよ．
(3)Tを中心D(3k,-2k)，半径kの円とする．T上の点Pから円Sへ2本の接線を引いて，その接点をE,Fとする．線分CPの長さ・・・

　国立 京都教育大学 2012年 第4問

空間において成分表示された3つのベクトルを
ベクトルa=(\frac{√3+1}{2},1,\frac{√3-1}{2}),ベクトルb=(1,0,1),ベクトルc=(1,0,-1)
とする．これに対して原点Oに関する位置ベクトルが
ベクトルa+(cost)ベクトルb+(sint)ベクトルc
である点Pを考える．次の問に答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルa，ベクトルa・ベクトルb，ベクトルa・ベクトルc，ベクトルb・ベクトルb，ベクトルb\cd・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第3問

原点をOとする座標平面上に2点A，Bがあり，2つのベクトルベクトルOA,ベクトルOBが
|ベクトルOA|=2√3,|ベクトルOB|=\sqrt{15},ベクトルOA・ベクトルOB=8
を満たしているとする．ここで，|ベクトルOA|,|ベクトルOB|はそれぞれベクトルOA,ベクトルOBの大きさを表し，ベクトルOA・ベクトルOBはベクトルOAとベクトルOBの内積を表すものとする．
(1)ベクトルOAとベクトルOBのなす角をθとおくと
cosθ=\frac{[ア]}{[イウ]・・・

　私立 北海学園大学 2012年 第4問

空間における3点A(3,1,-1)，B(1,3,2)，C(2,1,0)を頂点とする三角形ABCについて，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルベクトルCAとベクトルCBの内積を求めよ．
(2)ベクトルCAとベクトルCBのなす角θを求めよ．
(3)三角形ABCの面積Sを求めよ．

　私立 北海学園大学 2012年 第6問

三角形ABCにおいて，ベクトルBC=ベクトルa，ベクトルCA=ベクトルb，ベクトルAB=ベクトルcとする．これらの内積がベクトルa・ベクトルb=-7，ベクトルa・ベクトルc=-4，ベクトルb・ベクトルc=-6であるとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルcをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(2)三角形ABCの3辺の長さをそれぞれ求めよ．
(3)cosA，sinAの値と三角形ABCの面積Sをそれぞれ求めよ．

　私立 南山大学 2012年 第2問

座標空間に3つの点A(4,5,4)，B(6,2,2)，C(2,1,3)がある．
(1)3つの内積ベクトルAB・ベクトルAC，ベクトルBA・ベクトルBC，ベクトルCA・ベクトルCBを求めよ．
(2)△ABCは鋭角三角形，直角三角形，鈍角三角形のいずれになるか，(1)の結果を用いて示せ．
(3)点P(a,b,0)から，A，B，Cまでの距離がそれぞれ\sqrt{18}，\sqrt{17}，\sqrt{19}であるとき，a,bの値を求めよ．

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

Oを原点とする座標平面において，点(1,1)を点(5,5)に，点(1,-7)を点(-3,21)に移す1次変換をfとする．fによる点Pの像を点Qとするとき，Pに対して内積の条件
ベクトルOP・ベクトルPQ=0(*)
を考える．
(1)fを表す行列を求めよ．
(2)条件(*)を満たす点P(x,y)の軌跡は2直線となる．この2直線の方程式を求めよ．
実数a≧0に対して，
「点(a,0)を中心とする半径1の円周上の点Pで，条件(\a・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の文章中の[ア]から[ヒ]までに当てはまる数字0～9を求めよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)aを実数とするとき，方程式
|x|-|x2-4|+|x+6|=a
を考える．この方程式の実数解が2個であるための条件は
a＜[ア],[イ]＜a＜[ウ][エ]
であり，実数解を持たないための条件は
a＞[オ][カ]
である．また，次の不等式
|x|-|x2-4|+|x+6|＞2
には，正の整数解が[キ]個，負の整数解が[ク]個あ・・・