「内積」について

　国立 秋田大学 2011年 第3問

点Oを中心とし，半径がrである円に内接する△ABCについて，3辺AB，BC，CAをそれぞれ2:1に内分する点をA´，B´，C´とする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおく．次の問いに答えよ．
(1)rと内積ベクトルa・ベクトルbを用いて|ベクトルOA´|2を表せ．
(2)3点A´，B´，C´を通る円の中心が点Oと一致するとき・・・

　国立 秋田大学 2011年 第3問

平面上の相異なる3点O，A，Bに対して，ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとし，ベクトルp=ベクトルa+2ベクトルb,ベクトルq=\frac{-ベクトルa+2ベクトルb}{4}とする．また，ベクトルp=ベクトルOP,ベクトルq=ベクトルOQであるような2点P，Qをとる．|ベクトルp|=4,|ベクトルq|=1であるとき，次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルa|=|ベクトルb|のとき，内積ベクトルp・ベクトルqを求めよ．
(2)2点A，Bを通る直線と，2点P，Qを通る直線が直交するとき，内積\vectit・・・

　国立 広島大学 2011年 第4問

平面上で，線分ABを1:2に内分する点をO，線分ABを1:4に外分する点をCとする．Pを直線AB上にない点とし，ベクトルPOとベクトルPCが垂直であるとする．ベクトルPA=ベクトルa,ベクトルPB=ベクトルbとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルPO,ベクトルPCをベクトルa,ベクトルbで表せ．
(2)ベクトルaとベクトルbの内積ベクトルa・ベクトルbを|ベクトルa|,|ベクトルb|で表せ．
(3)　PA　=1,△　PAB　の面積が3/2のとき，PBの長さを求・・・

　国立 富山大学 2011年 第3問

平面内の2つの単位ベクトルベクトルaとベクトルbに対して
ベクトルv=\frac{1}{2sinθ/2}(ベクトルb-ベクトルa)
とおく．ただし，θはベクトルaとベクトルbのなす角であり，0＜θ＜πとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルvとベクトルb・ベクトルvをθを用いて表せ．
(2)ベクトルxを，ベクトルaに垂直で，ベクトルx・ベクトルb＞0をみたす単位ベクトルとする．このときベクトルxをベクトルaと・・・

　国立 福井大学 2011年 第1問

1辺の長さが1の正十二面体を考える．点O，A，B，C，D，\\
E，F，Gを図に示す正十二面体の頂点とし，ベクトルOA=ベクトルa，\\
ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の問いに答えよ．\\
ただし，1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは\\
\frac{1+√5}{2}であることを用いてよい．なお，正十二面体では，\\
すべての面は合同な正五角形であり，各頂点は3つの正五\\
角形に共有されている．
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(1)内積ベクトルa・ベクトルbを・・・

　国立 香川大学 2011年 第1問

△ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
√3ベクトルOL+ベクトルOM+(2+√3)ベクトルON=ベクトル0
が成立しているとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとおくとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルcをベクトルa,ベクトルbで表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ．
(3)∠　AOB　および∠　ACB　を求めよ．
(4)△ABCの面・・・

　国立 香川大学 2011年 第1問

△ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
√3ベクトルOL+ベクトルOM+(2+√3)ベクトルON=ベクトル0
が成立しているとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとおくとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルcをベクトルa,ベクトルbで表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ．
(3)∠　AOB　および∠　ACB　を求めよ．
(4)△ABCの面・・・

　国立 香川大学 2011年 第1問

△ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
√3ベクトルOL+ベクトルOM+(2+√3)ベクトルON=ベクトル0
が成立しているとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとおくとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルcをベクトルa,ベクトルbで表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ．
(3)∠　AOB　および∠　ACB　を求めよ．
(4)△ABCの面・・・

　国立 三重大学 2011年 第2問

四面体OABCにおいて　OA　=　OC　=√2,　OB　=√5,　AB　=3であり，∠　AOC　=∠　BOC　=π/2であるとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとして以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルa・ベクトルc,ベクトルb・ベクトルcを求めよ．
(2)線分ABを1:2に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，ベクトルOHを\vectit・・・

　国立 三重大学 2011年 第3問

四面体OABCにおいて　OA　=　OC　=√2,　OB　=√5,　AB　=3であり，∠　AOC　=∠　BOC　=π/2であるとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとして以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルa・ベクトルc,ベクトルb・ベクトルcを求めよ．
(2)線分ABを1:2に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，ベクトルOHを\vectit・・・