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3辺の長さがAB=4,BC=3,CA=5である直角三角形ABCと,その内側にあって2辺ABおよびACに接する円Oを考える.この円の半径をrとし,中心OからABに引いた垂線とABとの交点をHとする.また,ベクトルベクトルAB,ベクトルACと同じ向きで大きさが1のベクトルを,それぞれベクトルu,ベクトルvとし,ベクトルAH=tベクトルu(t>0)とする.次の問いに答えよ.
(1)直線AOと辺BCの交点をMとする・・・
国立 東京海洋大学 2011年 第2問AB=4,BC=5,CA=6であるような△ABCにおいて,∠BACの二等分線と辺BCの交点をD,辺CAの中点をE,線分ADと線分BEの交点をFとする.
(1)内積ベクトルAB・ベクトルACを求めよ.
(2)ベクトルAD=tベクトルAB+(1-t)ベクトルAC(0≦t≦1)とおくとき,内積ベクトルAB・ベクトルADおよびベクトルAC・ベクトルADをtを用いて表せ.
(3)tの値を求めよ.
(4)AF:FD・・・
私立 早稲田大学 2011年 第5問四面体OABCにおいてOA=BC=2,OB=3,OC=AB=4,AC=2√6である.
また,ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとする.以下の問に答えよ.
(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルa・ベクトルc,ベクトルb・ベクトルcを求めよ.
(2)△OABを含む平面をHとする.H上の点Pで直線PCとHが直交するものをとる.このとき,ベクトルOP=xベクトルa+yベクトルbとなるx,y・・・
私立 上智大学 2011年 第3問xyz空間内の正四面体ABCDを考える.頂点A,B,C,Dはすべて原点Oを中心とする半径1の球面S上にある.Aの座標は(0,0,1)であり,Bのx座標は正,y座標は0である.また,Cのy座標はDのy座標より大きい.
(1)B,C,Dのz座標は\frac{[ニ]}{[ヌ]}である.
(2)Cのx座標は\frac{[ネ]}{[ノ]}\sqrt{[ハ]}・・・
私立 龍谷大学 2011年 第3問三角形OABにおいて,OA=\sqrt{10},OB=1,AB=√5とする.ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとおく.nを整数とし,L={|1/4ベクトルa|+n\vectit{b}}2を考える.
(1)内積ベクトルa・ベクトルbを求めなさい.
(2)Lをnで表しなさい.
(3)Lを最小にする整数nを求めなさい.
私立 立教大学 2011年 第1問次の空欄ア~セに当てはまる数を記入せよ.
(1)(x+1)5のx3の係数は[ア]である.
(2)中心をOとする円の円周上に異なる2点A,Bがあり,AB=3とするとき,ベクトルABとベクトルAOの内積は,[イ]である.
(3)y=x2+px+q(pq≠0)のグラフが点(1,1)を通り,x軸に接するとき,p=[ウ],q=[エ]である.
(4)120人の学生の通学手段について調査したところ,電車を利用する学生が83人,バスを利用する学生が48人,電車もバスも・・・
私立 日本女子大学 2011年 第2問1辺の長さが1の正四面体OABCで,辺OAをt:(1-t)に内分する点をD,辺BCの中点をE,辺DEを1:3に内分する点をFとする.ただし,0<t<1とする.
(1)ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとするとき,内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルa・ベクトルc,ベクトルb・ベクトルcの値を求めよ.
(2)内積ベクトルa・\frac{ベクトルb+ベクトルc}{2},\frac{・・・
私立 千葉工業大学 2011年 第1問次の各問に答えよ.
(1)2次方程式x2-(2a+1)x-3a+1=0(aは定数)の1つの解がx=-1であるとき,a=[ア]であり,他の解はx=[イ]である.
(2)\frac{5+14i}{4+i}=[ウ]+[エ]i(ただし,i2=-1)である.
(3)(x2+3x+2)(x2-3x+2)=x4-[オ]x2+[カ]である.
(4)2n2-9n-5≦0をみたす整数nは全部で[キ]個ある.
(5)10本のくじのうち4本が当たりくじである.この中から,同時に2本のくじを引くとき,少なくとも1本は当たり・・・
私立 千葉工業大学 2011年 第4問三角形OABは面積が9√7で,OA=6,OB=8であり,∠AOBは鈍角である.辺AB上に2点L,Mがあり,線分OL上に点Nがあって,
AL:LB=1:3,AM:MB=ON:NL=t:(1-t)
(ただし,0<t<1)が成り立っている.このとき,次の問いに答えよ.
(1)sin∠AOB=\frac{[ア]\sqrt{[イ]}}{[ウ]}であり,内積ベクトルOA・ベクトルOB=[エオ]である・・・
私立 福岡大学 2011年 第2問次の[]をうめよ.
(1)△ABCにおいて,辺ABを2:1に内分する点をM,辺ACを3:2に内分する点をN,線分BNとCMの交点をPとする.ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルcとするとき,ベクトルベクトルAPをベクトルb,ベクトルcを用いて表すと,ベクトルAP=[]となる.さらに,AB=9,AC=6,AP=4のとき,ベクトルbとベクトルcの内積ベクトルb・ベクトルcの値は[]である・・・