「内積」について

　国立 長崎大学 2011年 第2問

3辺の長さがAB=4,BC=3,CA=5である直角三角形ABCと，その内側にあって2辺ABおよびACに接する円Oを考える．この円の半径をrとし，中心OからABに引いた垂線とABとの交点をHとする．また，ベクトルベクトルAB，ベクトルACと同じ向きで大きさが1のベクトルを，それぞれベクトルu,ベクトルvとし，ベクトルAH=tベクトルu(t＞0)とする．次の問いに答えよ．
(1)直線AOと辺BCの交点をMとする・・・

　国立 東京海洋大学 2011年 第2問

AB=4，BC=5，CA=6であるような△ABCにおいて，∠BACの二等分線と辺BCの交点をD，辺CAの中点をE，線分ADと線分BEの交点をFとする．
(1)内積ベクトルAB・ベクトルACを求めよ．
(2)ベクトルAD=tベクトルAB+(1-t)ベクトルAC(0≦t≦1)とおくとき，内積ベクトルAB・ベクトルADおよびベクトルAC・ベクトルADをtを用いて表せ．
(3)tの値を求めよ．
(4)AF:FD・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第5問

四面体OABCにおいてOA=BC=2，OB=3，OC=AB=4，AC=2√6である．
また，ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとする．以下の問に答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルa・ベクトルc,ベクトルb・ベクトルcを求めよ．
(2)△OABを含む平面をHとする．H上の点Pで直線PCとHが直交するものをとる．このとき，ベクトルOP=xベクトルa+yベクトルbとなるx,y・・・

　私立 上智大学 2011年 第3問

xyz空間内の正四面体ABCDを考える．頂点A，B，C，Dはすべて原点Oを中心とする半径1の球面S上にある．Aの座標は(0,0,1)であり，Bのx座標は正，y座標は0である．また，Cのy座標はDのy座標より大きい．
(1)B，C，Dのz座標は\frac{[ニ]}{[ヌ]}である．
(2)Cのx座標は\frac{[ネ]}{[ノ]}\sqrt{[ハ]}・・・

　私立 龍谷大学 2011年 第3問

三角形OABにおいて，OA=\sqrt{10}，OB=1，AB=√5とする．ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOBとおく．nを整数とし，L={|1/4ベクトルa|+n\vectit{b}}2を考える．
(1)内積ベクトルa・ベクトルbを求めなさい．
(2)Lをnで表しなさい．
(3)Lを最小にする整数nを求めなさい．

　私立 立教大学 2011年 第1問

次の空欄ア～セに当てはまる数を記入せよ．
(1)(x+1)5のx3の係数は[ア]である．
(2)中心をOとする円の円周上に異なる2点A，Bがあり，AB=3とするとき，ベクトルABとベクトルAOの内積は，[イ]である．
(3)y=x2+px+q(pq≠0)のグラフが点(1,1)を通り，x軸に接するとき，p=[ウ]，q=[エ]である．
(4)120人の学生の通学手段について調査したところ，電車を利用する学生が83人，バスを利用する学生が48人，電車もバスも・・・

　私立 日本女子大学 2011年 第2問

1辺の長さが1の正四面体OABCで，辺OAをt:(1-t)に内分する点をD，辺BCの中点をE，辺DEを1:3に内分する点をFとする．ただし，0＜t＜1とする．
(1)ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとするとき，内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルa・ベクトルc，ベクトルb・ベクトルcの値を求めよ．
(2)内積ベクトルa・\frac{ベクトルb+ベクトルc}{2}，\frac{・・・

　私立 千葉工業大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)2次方程式x2-(2a+1)x-3a+1=0（aは定数）の1つの解がx=-1であるとき，a=[ア]であり，他の解はx=[イ]である．
(2)\frac{5+14i}{4+i}=[ウ]+[エ]i（ただし，i2=-1）である．
(3)(x2+3x+2)(x2-3x+2)=x4-[オ]x2+[カ]である．
(4)2n2-9n-5≦0をみたす整数nは全部で[キ]個ある．
(5)10本のくじのうち4本が当たりくじである．この中から，同時に2本のくじを引くとき，少なくとも1本は当たり・・・

　私立 千葉工業大学 2011年 第4問

三角形OABは面積が9√7で，OA=6，OB=8であり，∠AOBは鈍角である．辺AB上に2点L，Mがあり，線分OL上に点Nがあって，
AL:LB=1:3,AM:MB=ON:NL=t:(1-t)
（ただし，0＜t＜1）が成り立っている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)sin∠AOB=\frac{[ア]\sqrt{[イ]}}{[ウ]}であり，内積ベクトルOA・ベクトルOB=[エオ]である・・・

　私立 福岡大学 2011年 第2問

次の[]をうめよ．
(1)△ABCにおいて，辺ABを2:1に内分する点をM，辺ACを3:2に内分する点をN，線分BNとCMの交点をPとする．ベクトルAB=ベクトルb，ベクトルAC=ベクトルcとするとき，ベクトルベクトルAPをベクトルb，ベクトルcを用いて表すと，ベクトルAP=[]となる．さらに，AB=9，AC=6，AP=4のとき，ベクトルbとベクトルcの内積ベクトルb・ベクトルcの値は[]である・・・