「内積」について

　国立 山形大学 2010年 第2問

1辺の長さが2の正三角形ABCがある．辺ABの中点をP，線分PBの中点をQ，辺BCを2:1に内分する点をR，線分PRと線分CQの交点をSとする．さらに，ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルcとおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積ベクトルb・ベクトルcの値を求めよ．
(2)ベクトルARをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(3)ベクトルASをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(4)|ベクトルAS|の値を求めよ．
(5)三角形APSの面積を求めよ．

　国立 新潟大学 2010年 第1問

四面体OABCにおいて，　OA　=　OB　=　OC　=3，　AB　=　BC　=　CA　=√6である．また，点Pは辺ABをx:1-xに内分し，点Qは辺OCをy:1-yに内分する(0＜x＜1，0＜y＜1)．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとして，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ．
(2)ベクトルPQをベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,x,yで表せ．
(3)2点P，Qの間の距離PQの最小値と，そのときのx,yの値を求めよ．

　国立 琉球大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)aを実数とする．xに関する方程式4x-2^{a+x}+2a=0が実数解を持つようにaの値の範囲を求めよ．
(2)三角形ABCの三辺を　AB　=4,　AC　=3,　BC　=\sqrt{13}とする．ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルcとおくとき，内積ベクトルb・ベクトルcの値を求めよ．また，三角形ABCの重心をGとするとき，線分AGの長さを求めよ．

　国立 千葉大学 2010年 第7問

△ABCは，1辺の長さが1の正三角形で，tは正の実数とする．ベクトルb=ベクトルAB，ベクトルc=ベクトルACとおく．直線AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり，ベクトルAD=tベクトルb，ベクトルAE=tベクトルcをみたしている．正三角形△ADEの重心をG，線分BEの中点をMとする．
(1)内積ベクトルMC・ベクトルMGを計算せよ．
(2)tが正の実数全体を動くとき，△CGMの面積を最小にするtの値と，そのとき・・・

　国立 福岡教育大学 2010年 第4問

空間上に相異なる4点O，A，B，Cがあり，線分OA，OB，OCは互いに直交している．次の問いに答えよ．
(1)4点O，A，B，Cからの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する．この点をGとする．線分OAの中点をMとする．ベクトルOAとベクトルMGが直交することを用いて，
ベクトルOA・ベクトルOG=1/2|ベクトルOA|2
となることを示せ．ただし，ベクトルOA・ベクトルOGはベクトルOAと・・・

　国立 福岡教育大学 2010年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)1から9までの整数がひとつずつ書かれた9個の玉が入っている袋の中から玉を3個取り出す．取り出した玉に書かれた整数の和が12以上となる確率を求めよ．
(2)円x2+y2=1と放物線y=x2+5との共通の接線のうち，円と第1象限で接する接線の方程式を求めよ．
(3)平面上の3点A，B，Cに対して|ベクトルAB|=1，|ベクトルAC|=5，ベクトルAB・ベクトルAC=3である．|ベクトルBC|を求めよ．ただし，ベクトルAB・ベクトルACはベクトルABとベクトルAC・・・

　国立 東京海洋大学 2010年 第4問

三角形OABにおいて，辺OAを1:2に内分する点をP，辺OBを1:2に内分する点をQ，辺OBを2:1に内分する点をR，辺ABの中点をSとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとするとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルPR⊥ベクトルQSとなるための条件を|ベクトルa|，|ベクトルb|と内積ベクトルa・ベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルPR⊥ベクトルQSかつ|ベクトルa|=1のとき，|ベクトルb|のとりうる値・・・

　私立 北海学園大学 2010年 第4問

三角形ABCにおいてAB=2，CA=3とする．この三角形の外接円の中心をO，辺ABとCAの中点をそれぞれM，Nとする．また，ベクトルAB=ベクトルa，ベクトルAC=ベクトルb，ベクトルOA=sベクトルa+tベクトルb，∠CAB=θとする．ただし，s,tは実数とする．
(1)ベクトルベクトルOMとベクトルONをベクトルa，ベクトルb，s，tの式で表せ．また，内積ベクトルa・ベクトルbをθの式で表せ．
(2)BC=4の・・・

　私立 龍谷大学 2010年 第2問

大きさ√3のベクトルベクトルaと大きさ2のベクトルベクトルbを考える．ベクトルaとベクトルbのなす角θがcosθ=1/4を満たすとき，次の問いに答えなさい．
(1)ベクトルaとベクトルbの内積を求めなさい．
(2)ベクトルp=(cost)ベクトルa+(sint)ベクトルb，ベクトルq=(-sint)ベクトルa+(cost)ベクトルbとするとき，{|ベクトルq|-\vectit{p}}2をtで表しなさい．
(3)0≦t≦πの範囲で(2)の{|\vectit{q|-\・・・

　公立 首都大学東京 2010年 第2問

原点をOとする座標平面上のベクトルベクトルOAとベクトルOBは|ベクトルOA|=\sqrt{17},|ベクトルOB|=\sqrt{10}を満たし，ベクトルOAとベクトルOBのなす角θがcosθ=-\frac{13}{\sqrt{170}}を満たしている．ベクトルベクトルu,ベクトルvをベクトルu=\frac{ベクトルOA+ベクトルOB}{2},ベクトルv=\frac{ベクトルOA-ベクトルOB}{2}で定める．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)長さ|ベクトルu|,|ベクトルv|と内積ベクトルu・ベクトルvを求めな・・・