「内積」について

　私立 早稲田大学 2014年 第2問

4つの角がすべてπ未満である平面上の四角形ABCDにおいてAB=5，CD=10とする．また，対角線ACとBDは互いに直交し，AC=12，BD=9とする．∠BAC=x，∠BDC=y，∠CBD=αとするとき，次の問に答えよ．
(1)sinxおよびsinyの値を求めよ．
(2)sinαおよびcosαの値を求めよ．
(3)ベクトルベクトルBAとベクトルBCの内積ベクトルBA・ベクトルBCの値を求めよ．

　私立 北里大学 2014年 第1問

次の各文の[]にあてはまる数を求めよ．
(1)0＜α＜π/2,π/2＜β＜π,cosα=3/5,sinβ=12/13を満たす2つの角α,βを考える．このとき，sin2α=[ア]，tan(α-β)=[イ]，sin(2α+β)=[ウ]となる．
(2)整式P(x)をx2-3x+2で割ると12x-5余り，x2-x-2で割ると2x+15余る．このとき，P(x)をx-1で割った余りは[エ]で，x2-1で割った余りは[オ]x+・・・

　公立 岡山県立大学 2014年 第1問

AB=2，BC=√5，CA=1である三角形ABCにおいて，点Aから直線BCに下ろした垂線の足をH，辺ACの中点をM，直線AHと直線BMの交点をPとする．次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルAB・ベクトルACの値を求めよ．
(2)ベクトルAPをベクトルABとベクトルACで表せ．
(3)三角形ABPの面積を求めよ．

　公立 大阪府立大学 2014年 第2問

OA=OB=1をみたす二等辺三角形OABにおいて，辺ABを1:3に内分する点をP，辺OBの中点をQ，直線OPと直線AQの交点をR，直線BRと辺OAの交点をSとし，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOBとおく．このとき，直線BSは辺OAと直交しているとする．
(1)ベクトルベクトルORをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルベクトルBSをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
\m・・・

　公立 福島県立医科大学 2014年 第1問

以下の各問いに答えよ．
(1)aは実数とする．極限\lim_{x→+0}∫x2tadtを調べよ．
(2)α,β(0＜α≦β＜π/2)がtanαtanβ=1を満たすとき，α+β=π/2であることを示せ．
(3)点P(x,y)が楕円\frac{x2}{4}+y2=1の上を動くとき，3x2-16xy-12y2の値が最大になる点Pの座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを2回振り，1回目に出た・・・

　公立 福島県立医科大学 2014年 第2問

OA=OB=1，∠AOB＜π/2の△OABを含む平面をHとする．平面H上に無い点Cから平面H，直線OA，直線OBに下ろした垂線の足をそれぞれD，E，Fとする．ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOC，p=ベクトルa・ベクトルb，q=ベクトルb・ベクトルc，r=ベクトルc・ベクトルaとして，以下の問いに答えよ．ただし，ベクトルa・ベクトルbはベクトルaと\vec・・・

　公立 広島市立大学 2014年 第3問

四面体OABCは，OA=BC，OB=AC，OC=ABを満たしているとし，OA=a，OB=b，OC=cとおく．三角形ABCと三角形OACの重心をそれぞれG，Hとするとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOG，ベクトルBHをそれぞれベクトルOA，ベクトルOB，ベクトルOCを用いて表せ．
(2)内積ベクトルOA・ベクトルOBをa,b,cを用いて表せ．
(3)OG⊥BHであるとき，a2+c2=3b2が成り立つことを示せ．
・・・

　国立 新潟大学 2013年 第4問

1次関数f(x)=px+qに対して，xの係数pと定数項qを成分にもつベクトル(p,q)をベクトルfとする．つまり，ベクトルf=(p,q)とする．次の問いに答えよ．
(1)定積分
∫_{-√3}^{√3}(kx+l)(mx+n)dx
を求めよ．ただし，k,l,m,nは定数である．
(2)2つの1次関数g(x)とh(x)に対して，等式
\frac{1}{2√3}∫_{-√3}^{√3}g(x)h(x)dx=ベクトルg・ベクトルh
が成り立つことを示せ．ただし，ベクトルg・ベクトルhはベクトル\vec・・・

　国立 九州大学 2013年 第2問

一辺の長さが1の正方形OABCを底面とし，点Pを頂点とする四角錐POABCがある．ただし，点Pは内積に関する条件ベクトルOA・ベクトルOP=1/4，およびベクトルOC・ベクトルOP=1/2をみたす．辺APを2:1に内分する点をMとし，辺CPの中点をNとする．さらに，点Pと直線BC上の点Qを通る直線PQは，平面OMNに垂直であるとする．このとき，長さの比BQ:QC，および線分\ten{O・・・

　国立 九州大学 2013年 第1問

一辺の長さが1の正方形OABCを底面とし，OP=AP=BP=CPをみたす点Pを頂点とする四角錐POABCがある．辺APを1:3に内分する点をD，辺CPの中点をE，辺BCをt:(1-t)に内分する点をQとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルベクトルODとベクトルOEを，ベクトルOA,ベクトルOC,ベクトルOPを用いて表せ．
(2)ベクトルベクトルPQを，ベクトルOA,ベクトルOC,ベクトルOPとtを用いて表せ．
(3)内積\vec・・・