「内積」について

　国立 東京農工大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)f(x)=log(x+\sqrt{x2+1})とする．ただし，対数は自然対数とする．
(i)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(ii)直線y=xと直線x=3/4および曲線y=f(x)で囲まれた部分の面積Sを求めよ．
(2)α=2/5πとする．
(i)cos3α=cos2αが成り立つことを用いて，cosαとcos2αの値を求めよ．
\mon[\tok・・・

　国立 群馬大学 2013年 第3問

△ABCにおいて，辺BCの中点MはAM=BM=1を満たす．内積ベクトルBA・ベクトルBCをtとする．
(1)tのとり得る値の範囲を求めよ．
(2)△ABCの面積が\frac{√7}{4}となるとき，tの値を求めよ．
(3)△ABCの周の長さAB+BC+CAの最大値と，そのときのtの値を求めよ．

　国立 福井大学 2013年 第2問

四面体OABCの各辺の長さをそれぞれAB=√7，BC=3，CA=√5，OA=2，OB=√3，OC=√7とする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルc，ベクトルc・ベクトルaを求めよ．
(2)三角形OABを含む平面をαとし，点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点を\ten{H・・・

　国立 福井大学 2013年 第1問

四面体OABCの各辺の長さをOA=2，OB=√5，OC=√7，AB=√3，BC=2，CA=√5とする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルc，ベクトルc・ベクトルaを求めよ．
(2)三角形OABを含む平面をαとし，点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点をHとする・・・

　国立 福井大学 2013年 第2問

OA=OB=OC=1かつAB=BC=CAをみたす四面体OABCがある．その体積をV，AB=mとおき，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcと表すとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルc，ベクトルc・ベクトルaをmを用いて表せ．
(2)△ABCの重心をGとおくとき，内積ベクトルOG・ベクトルAG，ベクトルOG・ベクトルBG，ベクトルOG・・・・

　国立 愛媛大学 2013年 第2問

行列(\begin{array}{cc}
5/2&-1/4\
a&b
\end{array})で表される1次変換をfとする．fは3点A(1,m)，B(0,1)，C(m,-1)に対して，次の2つの条件①,②を満たすものとする．ただし，Oは原点である．
①Aのfによる像はA自身である
②Bのfによる像をB´とすると，ベクトルBB´とベクトルOCは垂直であ・・・

　国立 岐阜大学 2013年 第7問

ベクトルa，ベクトルb，ベクトルc，ベクトルdは空間のベクトルであり，次の条件を満たしている．
\begin{array}{l}
ベクトルa+ベクトルb+ベクトルc+ベクトルd=ベクトル0\
|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=|ベクトルd|=1
\end{array}
以下の問に答えよ．ここで2つのベクトルのなす角θは0°≦θ≦180°である．
(1)ベクトルaとベクトルbのなす角とベクトルcとベクトルdのなす角が等しいことを示せ．
(2)内積(ベクトルa+ベクトルb)\cdo・・・

　国立 愛媛大学 2013年 第4問

行列(\begin{array}{cc}
5/2&-1/4\
a&b
\end{array})で表される1次変換をfとする．fは3点A(1,m)，B(0,1)，C(m,-1)に対して，次の2つの条件①,②を満たすものとする．ただし，Oは原点である．
①Aのfによる像はA自身である
②Bのfによる像をB´とすると，ベクトルBB´とベクトルOCは垂直であ・・・

　私立 北海学園大学 2013年 第5問

座標平面上に4点O(0,0)，A(1,0)，B(0,-2√3)，C(x,y)がある．ベクトルベクトルOAとベクトルOCのなす角が60°であり，ベクトルOCの大きさが|ベクトルOC|=1であるとき，次の問いに答えよ．ただし，x＞0，y＞0とする．
(1)ベクトルベクトルCAの大きさ|ベクトルCA|と，ベクトルCBの大きさ|ベクトルCB|を求めよ．
(2)内積ベクトルCA・ベクトルCBを求めよ．また，cos∠ACBの値を求めよ．
(3)三角形ABCの面積を求めよ．
\end{en・・・

　私立 昭和大学 2013年 第3問

台形ABCDがあり，上底はAD=3，下底はBC=6であり，またAB=2，∠A=\frac{2π}{3}である．いま，ベクトルAB=ベクトルa，ベクトルAD=ベクトルbとおく．以下の各問に答えよ．
(1)ベクトルベクトルBDをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルベクトルACをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(3)内積ベクトルa・ベクトルbの値を求めよ．
(4)ベクトルベクトルBDの大きさ|ベクトルBD|を求めよ．
(5)ベクトルベクトルAC・・・