「円周」について

　国立 千葉大学 2014年 第2問

座標平面上に，原点を中心とする半径1の円と，その円に外接し各辺がx軸またはy軸に平行な正方形がある．円周上の点(cosθ,sinθ)（ただし0＜θ＜π/2）における接線と正方形の隣接する2辺がなす三角形の3辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にするθを求めよ．

　私立 東北工業大学 2014年 第2問

三角形ABCにおいて，3つの角の大きさの比A:B:Cが2:3:7であるとする．また，頂点Cから辺ABにおろした垂線と辺ABとの交点をDとしたときBD=\sqrt{10}である．
(1)BC=2\sqrt{[サ][シ]}，AD=\sqrt{[ス][セ]}である．
(2)三角形ABCの面積は5+5\sqrt{[ソ][タ]}である．
(3)三角形ABCが内接する円の面積は[チ][ツ]πである．ただし，πは円周率を表す．
(4)cosC=\f・・・

　私立 金沢工業大学 2014年 第3問

図のように，点Oを中心とし，線分ABを直径とする半径1の半円において，円周上に点Pをとり，∠POA=θとし，点Pにおける接線が線分OAの延長と交わる点をHとする．ただし，0＜θ＜π/2とする．さらに，線分OA上に∠OPB=∠OPDとなるように点Dをとる．
（プレビューでは図は省略します）
(1)AP=[ア]sin\frac{θ}{[イ]}である．
(2)\l・・・

　私立 早稲田大学 2014年 第2問

sinθ=4/5を満たすθ(0＜θ＜π/2)に対し，an=5nsinnθとおく（n=1,2,・・・）．次の問いに答えよ．
(1)数列{an}は，ある整数A,Bを用いて
a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ban
と表される．このとき，A,Bの値を求めよ．
(2)anは5で割ると4余る整数であることを証明せよ．
(3)θは円周率πの有理数倍ではないことを証明せよ．

　私立 京都女子大学 2014年 第2問

下の図において，点Oは△ABCの外心である．点Dは2点B，Oを通る円O1と辺BCとの交点，点Eは円O1と辺ABとの交点である．また，点Fは3点O，D，Cを通る円O2と，辺ACの延長との交点である．次の問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)4点A，E，O，Fは同一円周上にあることを証明せよ．
(2)円O1の半径をR1，円O2の・・・

　私立 安田女子大学 2014年 第3問

原点O，半径1の円の円周上に点P，Q，Rがある．また，0＜α＜π/3であるような定数αに対し，∠POQ=α，∠QOR=2α，∠POR=3αが成り立っているものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)四角形PQROの面積Sを，αを用いて表せ．
(2)線分PRの長さlを，αを用いて表せ．
(3)α=π/6であるとき，直線PRと直線\ten{OQ・・・

　私立 東洋大学 2014年 第4問

C1を半径1の円とする．H1を円C1に内接する正六角形とし，正六角形H1に内接する円をC2とする．次の各問に答えよ．
(1)円C2の半径は\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}である．
(2)円C2に内接する正六角形をH2とする．この操作を繰り返し，10個の円C1,C2,・・・,C_{10}を作る．このとき，C1,C2,・・・,C_{10}の円周の長さの総和は
\frac{\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}+[キ][ク][ケ]\sqrt{[コ]}}{256}π
である．
(3)円C1・・・

　私立 東京薬科大学 2014年 第4問

中心O，半径1の円周上に定点Aと動点P，Qがあり，P，Qは常に∠PAQ={120}°を満たしながら動いている．∠OAP=θとして次の各問に答えよ．ただし，*については+,-の1つが入る．
(1)θの動ける範囲は{[あい]}°＜θ＜{[うえ]}°である．
(2)AP，AQをsinθ，cosθを用いて表すと，
AP=[お]cosθ,AQ=\sqrt{[か]}\si・・・

　私立 上智大学 2014年 第2問

座標空間の原点Oを通りベクトル(1,√3,2√3)に平行な直線をℓとし，点Aの座標を(√3+3,3√3+3,6-2√3)とする．このとき，Oを頂点とする円錐Cは，底面の中心Hがℓ上にあり，底面の円周がAを通るとする．
(1)∠AOH=\frac{[コ]}{[サ]}πである．ただし，0≦∠AOH＜πとする．
(2)Hの座標は
(\sqrt{[シ]},[ス],[セ])・・・

　私立 立教大学 2014年 第3問

座標平面上に放物線y=x2+1/16と円x2+y2-3y+1=0がある．このとき，次の問に答えよ．
(1)円の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円の中心と円周上の点(1/2,1/2)を通る直線の傾きを求めよ．
(3)円周上の点(1/2,1/2)における円の接線の方程式を求めよ．
(4)(3)で求めた接線と放物線のすべての交点の座標を求めよ．
(5)(3)で求めた接線と放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．