「円周」について

　国立 東京大学 2011年 第3問

Lを正定数とする．座標平面のx軸上の正の部分にある点P(t,0)に対し，原点Oを中心とし点Pを通る円周上を，Pから出発して反時計回りに道のりLだけ進んだ点をQ(u(t),v(t))と表す．
(1)u(t),v(t)を求めよ．
(2)0＜a＜1の範囲の実数aに対し，積分
f(a)=∫a1\sqrt{{u^{\prime}(t)}2+{v^{\prime}(t)}2}dt
を求めよ．
(3)極限\lim_{a→+0}\frac{f(a)}{loga}を求めよ．

　国立 岡山大学 2011年 第3問

平面上の異なる3点O，A，Bは同一直線上にないものとする．この平面上の点Pが
2|ベクトルOP|2-ベクトルOA・ベクトルOP+2ベクトルOB・ベクトルOP-ベクトルOA・ベクトルOB=0
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)Pの軌跡が円となることを示せ．
(2)(1)の円の中心をCとするとき，ベクトルOCをベクトルOAとベクトルOBで表せ．
(3)Oとの距離が最小となる(1)の円周上の点をP0とする．A，Bが条件
|\ve・・・

　国立 岩手大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=\sqrt{3√2+4},y=\sqrt{3√2-4}のとき，x/y+y/xの値を求めよ．
(2)関数f(x)=x2+ax-2a+6のx≧0における最小値が1であるとき，aの値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを2:1に内分する点をD，辺ACを3:5に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比　AB　:　AC　を求めよ．

　国立 福井大学 2011年 第2問

座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周上に，点Pがある．ただし，Pは第1象限の点である．点Pからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をQ，線分PQを2:1に内分する点をRとする．θ=∠　QOP　のときのtan∠　QOR　とtan∠　ROP　の値をそれぞれf(θ),g(θ)とおく．以下の問いに答えよ．
(1)f(θ)とg(θ)をθを用いて表せ．
(2)g(θ)の0＜θ＜π/2における最大値と，そのときのθの値を求めよ．
\end{enu・・・

　国立 滋賀大学 2011年 第3問

座標平面上の点(1,0)をAとする．原点O(0,0)を中心とし半径が1の円周上の2点P，Qは，∠　AOP　=θ,∠　AOQ　=θ+π/3,0＜θ＜\frac{2π}{3}を満たす．また，点Pからx軸に引いた垂線とx軸の交点をBとし，点Cを四角形BPQCが平行四辺形になるように定める．ただし，点P，Qのy座標は正とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Cの座標をθを用いて表せ．
(2)四角形BPQCの面積の最大値を求めよ．また，そのときのθの値を求めよ．
\end{・・・

　国立 岩手大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=\sqrt{3√2+4},y=\sqrt{3√2-4}のとき，x/y+y/xの値を求めよ．
(2)関数f(x)=x2+ax-2a+6のx≧0における最小値が1であるとき，aの値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを2:1に内分する点をD，辺ACを3:5に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比　AB　:　AC　を求めよ．

　国立 茨城大学 2011年 第3問

点Aを(-2,0)，点Eを(2,0)とする．3つの点B，C，Dは，　AB　=　BC　=　CD　=　DE　を満たし，かつ，直線ABと直線CDが直角に交わり，直線BCと直線DEが直角に交わる．点B，C，Dの位置を調べるために，ベクトルBS=ベクトルCDとなるような点Sをとる．点Sのy座標をsとする．以下の各問に答えよ．
(1)ASとESの長さを比較し，点Sが満たす条件を求めよ．
(2)点Bが直線ASの上側にある場合を考える．ベクトルSBと点Bの座標をsで表せ．sが変化するときに点Bが描く図形は何か．
(3)点Dが直線ESの上側・・・

　国立 高知大学 2011年 第2問

nを2以上の自然数とする．平面上に距離が1である2点O，P0がある．中心がOで半径1の円周上に点Pk(k=1,2,・・・,n)を反時計回りに∠　P　k　OP　0=\frac{kπ}{n}となるようにとる．三角形PkOP_{k-1}の面積をTkと表し，Sn=Σ_{k=1}nTkとおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)S2を求めよ．
(2)Snをnで表せ．
(3)\lim_{n→∞}Snを求めよ．
(4)ekを線分P_{k-1}Pkの長さとおいて，・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

次の[]にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)平面上の3点A，B，Cが点Oを中心とする半径1の円周上にあり，
3ベクトルOA+7ベクトルOB+5ベクトルOC=ベクトル0
を満たしている．このとき線分ABの長さは[ア]である．
(2)xy平面上の曲線y=exとy軸および直線y=eで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石をn個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わ・・・

　私立 自治医科大学 2011年 第21問

円周を12等分し，各点をA，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，Lと表記する．3つの点を同時に選び，三角形をつくるとき，その三角形が直角二等辺三角形となる確率をpとする．55pの値を求めよ．ただし，得られた三角形の頂点のアルファベット記号が1つでも異なれば，別の三角形とみなすものとする．