「凹凸」について

　国立 富山大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx＞-\frac{1}{√x}が成り立つことを示せ．
(2)f(x)=x2logx(x＞0)とおく．\lim_{x→+0}f(x)=0を示せ．
(3)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(4)I(t)=∫t2f(x)dx(t＞0)とおく．このとき，\lim_{t→+0}I(t)を求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx＞-\frac{1}{√x}が成り立つことを示せ．
(2)f(x)=x2logx(x＞0)とおく．\lim_{x→+0}f(x)=0を示せ．
(3)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(4)I(t)=∫t2f(x)dx(t＞0)とおく．このとき，\lim_{t→+0}I(t)を求めよ．

　国立 山梨大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)=e^{1+sin2x}の導関数f´(x)を求めよ．
(2)条件a1=1，a2=2，a_{n+2}=3a_{n+1}-2an(n=1,2,3,・・・)で定められる数列{an}の一般項を求めよ．
(3)関数f(x)=\frac{4x}{x2+1}の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べ，曲線y=f(x)の概形をかけ．

　国立 宮城教育大学 2014年 第4問

関数f(x)=e^{√2sinx}を考える．次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦2πにおいて，関数f(x)の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)aを実数とする．関数f(x)の導関数をf´(x)とするとき，xの方程式f´(x)=aの0≦x≦2πにおける実数解の個数を求めよ．

　国立 山口大学 2014年 第4問

関数
f(x)=∫0x|(t-1)(t-2)|dt-|∫0x(t-1)(t-2)dt|
に対して，y=f(x)(x＞0)のグラフをかきなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

　国立 山口大学 2014年 第4問

関数
f(x)=∫0x|(t-1)(t-2)|dt-|∫0x(t-1)(t-2)dt|
に対して，y=f(x)(x＞0)のグラフをかきなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

　国立 島根大学 2014年 第2問

f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x2+1}}とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)kを正の定数とする．関数y=f(x)のグラフと直線y=x+kがちょうど2個の共有点をもつとき，kの値を求めよ．
(3)kを(2)で求めた定数とする．このとき，x≧0の範囲で，関数y=f(x)のグラフと直線y=x+kおよびy軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　国立 島根大学 2014年 第2問

f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x2+1}}とするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)kを正の定数とする．関数y=f(x)のグラフと直線y=x+kがちょうど2個の共有点をもつとき，kの値を求めよ．
(3)kを(2)で求めた定数とする．このとき，x≧0の範囲で，関数y=f(x)のグラフと直線y=x+kおよびy軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　公立 兵庫県立大学 2014年 第1問

関数f(x)=cos3x(0≦x≦2π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減表をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)定積分∫0^{π/4}f(x)sinxdxを求めよ．

　公立 広島市立大学 2014年 第4問

関数f(x)=4sinx+(π-2x)cosx(0≦x≦π)について，次の問いに答えよ．
(1)f´(x)，f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(2)f´(x)は0≦x≦πで減少することを示せ．
(3)f(x)の増減および曲線y=f(x)の凹凸を調べよ．
(4)曲線y=f(x)，x軸，y軸および直線x=πで囲まれた部分の面積を求めよ．