「凹凸」について

　国立 宮城教育大学 2013年 第4問

x＞0のとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式2√x＞logxを示せ．
(2)関数y=\frac{1-logx}{x2}の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

　国立 電気通信大学 2013年 第1問

関数f(x)=sinx+\frac{1}{2sinx}(0＜x＜π)について以下の問いに答えよ．
(1)f´(x)=0となるxの値を求めよ．
(2)f(x)の増減を調べ，極値を求めよ．さらに，y=f(x)のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)0＜x＜πのとき，
d/dx{log(1-cosx)-log(1+cosx)}
を求めよ．
(4)定積分∫_{π/4}^{3/4π}f(x)dxを求めよ．

　国立 三重大学 2013年 第4問

関数y=xe^{-2x}を考える．
(1)y´,y^{\prime\prime}を求めよ．
(2)この関数の0≦x≦2における増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

　国立 鹿児島大学 2013年 第4問

xy平面において，曲線y=exと3直線y=x+1,x=1,x=-1で囲まれた部分をDとする．ただしeは自然対数の底である．次の各問いに答えよ．
(1)関数f(x)=ex-(x+1)の増減，極値，凹凸を-1≦x≦1の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)Dを図示せよ．
(3)Dをx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ．

　国立 長崎大学 2013年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=-x+2-\sqrt{1-x2}(-1≦x≦1)の増減およびグラフの凹凸を調べよ．また，yの最大値およびそのときのxの値，yの最小値およびそのときのxの値をそれぞれ求めよ．
(2)2つの曲線y=-x+2-\sqrt{1-x2}(-1≦x≦1)とy=-x+2+\sqrt{1-x2}(-1≦x≦1)によって囲まれた図形Dを座標平面上に描け．なお，Dの境界が座標軸との共有点をもつならば，その座標も記入せよ．
(3)上の図形Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を・・・

　国立 東京海洋大学 2013年 第5問

f(x)=2sinx+cos2x(0≦x≦2π)とする．
(1)関数y=f(x)の極値を求めてグラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)方程式f(x)=0の解をα,β(0≦α＜β≦2π)とする．sinα，cosα，sinβ，cosβの値を求めよ．
(3)y=f(x)のグラフとx軸で囲まれた図形で，第4象限に含まれる部分の面積を求めよ．

　私立 福岡大学 2013年 第8問

関数f(x)=x(logx)2(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，増減表を書け．
(2)曲線y=f(x)と変曲点における接線，および直線x=1によって囲まれる部分の面積を求めよ．

　私立 東京慈恵会医科大学 2013年 第2問

xy平面上に2曲線
C1:y=2x\sqrt{1-x2},C2:y=\sqrt{1-x2}
がある．C1，C2上に2点P1(t,2t\sqrt{1-t2})，P2(t,\sqrt{1-t2})(-1＜t＜1)をとり，P1におけるC1の接線ℓtと，P2におけるC2の接線mtについて考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)C1およびC2の概形を同じxy平面上に描け．ただし，曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい．また，P1とP2が一致するときのtの値を求めよ．
(2)2直線ℓt・・・

　私立 東京都市大学 2013年 第4問

関数f(x)をf(x)=(x-1)e^{-(x-1)2}とおく．次の問に答えよ．
(1)関数f(x)の導関数f´(x)と第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(2)f´(x)=0となるxの値と，f^{\prime\prime}(x)=0となるxの値を求めよ．
(3)関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，\lim_{x→-∞}f(x)=0，\lim_{x→∞}f(x)=0は用いてよい．

　公立 兵庫県立大学 2013年 第5問

関数f(x)=1/4x2-x+log(x+1)(x＞-1)について，次の問いに答えよ．ただし，不等式2＜e＜3が成り立つことは使ってよい．
(1)y=f(x)のグラフの概形をかけ．ただし，凹凸，変曲点は調べなくてよい．
(2)a≠0かつf(a)=0となるaはただ1つあって，1＜a＜2を満たすことを示せ．
(3)区間[0,a]において曲線y=f(x)とx軸で囲まれる部分の面積をS1とし，区間[a,4]において曲線y=f(x)とx軸および直線x=4で囲まれる部分の面積をS2とする．S1＜S2を示せ．
\end・・・