「凹凸」について

　国立 静岡大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)不等式x+x2logx＞0が成り立つことを示せ．
(2)関数y=-x2logxの増減，グラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

　国立 島根大学 2010年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)\lim_{x→∞}(\frac{x3}{x2-1}-x)を求めよ．
(2)関数y=\frac{x3}{x2-1}の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)kを定数とするとき，方程式x3-kx2+k=0の異なる実数解の個数を調べよ．

　国立 徳島大学 2010年 第2問

a,b,c,dを実数とし，f(x)=3x4+ax3+bx2+cx+dとする．曲線y=f(x)が変曲点(1,0)，(1/3,-16/27)をもつとき，次の問いに答えよ．
(1)a,b,c,dを求めよ．
(2)y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸を調べよ．
(3)y=f(x)のグラフをかけ．

　国立 鳥取大学 2010年 第4問

関数f(x)=xe^{-x}について，次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)曲線y=f(x)の接線で，点(-1/2,0)を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線y=f(x)で囲まれる図形の面積を求めよ．

　国立 鳥取大学 2010年 第3問

関数f(x)=xe^{-x}について，次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)曲線y=f(x)の接線で，点(-1/2,0)を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線y=f(x)で囲まれる図形の面積を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2010年 第4問

aを正の定数とし，関数
f(x)=(x-a)e^{-x}
について，次の各問いに答えよ．ただしeは自然対数の底である．
(1)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)関数f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(3)関数f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)nを正の整数とする．曲線y=f(x)とx軸および直線x=a+nとで囲まれた部分の面積Snをnとaで表せ．また，\lim_{n→∞}Snを求めよ．

　公立 会津大学 2010年 第5問

関数y=(x-2)exのグラフをCとするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=(x-2)exの増減，極値，Cの凹凸，変曲点を調べて，Cを座標平面上に描け．ただし，\lim_{t→∞}\frac{t}{et}=0を用いてもよい．
(2)Cとx軸の共有点と，Cの変曲点を通る直線をℓとおく．Cとℓで囲まれた部分の面積を求めよ．