「切り口」について

　国立 岡山大学 2015年 第4問

座標空間内の8点
(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)
を頂点とする立方体を考える．0＜t＜3のとき，3点(t,0,0)，(0,t,0)，(0,0,t)を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積をf(t)とし，f(0)=f(3)=0とする．関数f(t)について，次の問いに答えよ．
(1)0≦t≦3のとき，f(t)をtの式で表せ．
(2)関数f(t)の0≦t≦3における最大値を求めよ．
(3)定積分∫・・・

　国立 東京工業大学 2015年 第3問

a＞0とする．曲線y=e^{-x2}とx軸，y軸，および直線x=aで囲まれた図形を，y軸のまわりに1回転してできる回転体をAとする．
(1)Aの体積Vを求めよ．
(2)点(t,0)(-a≦t≦a)を通りx軸と垂直な平面によるAの切り口の面積をS(t)とするとき，不等式
S(t)≦∫_{-a}ae^{-(s2+t2)}ds
を示せ．
(3)不等式
\sqrt{π(1-e^{-a2})}≦∫_{-a}ae^{-x2}dx
を示せ．

　国立 東北大学 2014年 第2問

下図のような平行六面体OABC-DEFGがxyz空間内にあり，O(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,3,0)，D(-1,0,√6)とする．辺ABの中点をMとし，辺DG上の点NをMN=4かつDN＜GNを満たすように定める．
(1)Nの座標を求めよ．
(2)3点E，M，Nを通る平面とy軸との交点Pを求めよ．
(3)3点E，M，Nを通る平面による平行六面体OABC・・・

　国立 東京医科歯科大学 2014年 第2問

0＜θ＜π/2を満たす実数θに対し，xyz空間内の4点A(cosθ,cosθ,sinθ)，B(-cosθ,-cosθ,sinθ)，C(cosθ,-cosθ,-sinθ)，D(-cosθ,cosθ,-sinθ)を頂点とする四面体の体積をV(θ)，この四面体のxz平面による切り口の面積をS(θ)とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)S(π/6),V(\・・・

　国立 高知大学 2014年 第3問

丸いピザを包丁で，まっすぐに切る．1回切るとどんな切り方をしてもピザは2片に分割される．2回だと3片か4片に分割される．このとき，n回切ったときの最大分割数をanとおく．例えばa1=2，a2=4，a3=7である．次の問いに答えよ．
(1)a3≧7，a4≧11，a5≧16であることを図により確かめよ．
(2)n回目に新しく切ったとき，その切り口はいくつかの線分に分かれる．その線分の数をpnとおく．上手に切れば
a_{n+1}=an+p_{n+1}
となる．このときのp_{n+1}を求めよ・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第4問

座標空間内の3点A(1,0,1)，B(0,2,3)，C(0,0,3)と原点Oを頂点とする四面体OABCについて考える．
四面体OABCを平面z=t(0＜t＜3)で切ったときの切り口の面積をf(t)とする．0＜t≦1のときf(t)=[ソ]である．また，1＜t＜3のとき平面z=tと辺ABの交点の座標は[タ]となり，f(t)=[チ]となる．
次に，四面体OABCにおいて，2つの平面z=tとz=t+2(0＜t＜1)の間にはさまれた部分の体積をg(・・・

　私立 産業医科大学 2014年 第3問

一辺の長さが1の正二十面体の1つの面を△ABCとする．さらに外接球の中心をOとする．すなわち，この正二十面体の12個の頂点は中心をOとする1つの球の上にある．次の問いに答えなさい．
(1)3点A，B，Oを通る平面でこの正二十面体を切ったとき，切り口として得られる六角形の面積を求めなさい．
(2)Oから△ABCに下ろした垂線の足をDとするとき，線分ODの長さを求めなさい．

　国立 埼玉大学 2013年 第4問

xyz空間における平面y=0上のグラフz=2-x2,(0≦x≦√2)をz軸の周りに回転して得られるものを平面x=aで切りとる．ただし0≦a≦√2とする．そのとき切り口の平面に曲線Gが現れた．G上の点(x,y,z)は，
x=a,z=2-a2-y2(-\sqrt{2-a2}≦y≦\sqrt{2-a2})
をみたす．切り口の平面x=a上において点(a,0,0)と曲線G上の点の距離の最大値をr(a)とする．このとき下記の設問に答えよ．
(1)0≦a≦√2に対してr(a)を・・・

　国立 佐賀大学 2013年 第3問

x軸，y軸，z軸を座標軸，原点をOとする座標空間において，z軸\\
を中心軸とする半径1の円柱を考える．次に，x軸を含みxy平面と\\
のなす角がπ/4となる平面をαとし，平面αによる円柱の切り口の\\
曲線をCとする．また，点A(1,0,0)とする．さらに，曲線C上\\
の点Pからxy平面に下ろした垂線をPQとし，∠AOQ=θ\\
(0≦θ＜2π)とする．このとき，次の問に答えよ．
\img{711292720131}{48}
\begin{enumera・・・

　国立 東京大学 2013年 第6問

座標空間において，xy平面内で不等式|x|≦1，|y|≦1により定まる正方形Sの4つの頂点をA(-1,1,0)，B(1,1,0)，C(1,-1,0)，D(-1,-1,0)とする．正方形Sを，直線BDを軸として回転させてできる立体をV1，直線ACを軸として回転させてできる立体をV2とする．
(1)0≦t＜1を満たす実数tに対し，平面x=tによるV1の切り口の面積を求めよ．
(2)V1とV2の共通部分の体積を求めよ．