「切り口」について

　私立 東京慈恵会医科大学 2013年 第3問

θは0≦θ≦πをみたす実数とする．xyz空間内の平面z=0上に2点
P_θ(cosθ,sinθ,0),Q_θ(2cosθ,2sinθ,0)
をとり，θを0≦θ≦πの範囲で動かすとき，線分P_θQ_θが通過する部分をDとする．空間内のz≧0の部分において，底面がD，P_θQ_θ上の各点での高さが2/πθの立体Kを考える．半球B:x2+y2+z2≦22，z・・・

　国立 大阪大学 2012年 第3問

xyz空間に3点O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(0,√3,1)がある．平面z=0に含まれ，中心がO，半径が1の円をWとする．点Pが線分OA上を，点Qが円Wの周および内部を動くとき，ベクトルOR=ベクトルOP+ベクトルOQをみたす点R全体がつくる立体をVAとおく．同様に点Pが線分OB上を，点Qが円Wの周および内部を動くとき，ベクトルOR=ベクトルOP+ベクトルOQをみたす点R全体がつくる立体をVBとおく．さらにVAとVBの重なり合う部分をVとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)平面z・・・

　国立 信州大学 2012年 第3問

下図のように，x軸，y軸，z軸上に辺があり，一辺の長さが3である立方体がある．点A(0,0,3)，B(3,0,2)，C(3,3,1)を通る平面で立方体を切断したときの切り口を四角形ABCDとする．このとき，次の問に答えよ．\\
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{picture}(10,9)(0,0)
\put(3,3){\vector(0,1){5}}
\put(3,3){\vector(-1,-1){2.5}}
\put(3,3){\vector(1,0){6}}
\put(2,2){\line(1,0){4}}
\put(2,5.5){\line(1,0){4}}
\put(2,2){\line(0,1){3.5}}
\put(6,2){\line(0,1){3.5}}
\put(2,5.5){\line(1,1){1}}
\put(3,6.5){\・・・

　国立 信州大学 2012年 第1問

下図のように，x軸，y軸，z軸上に辺があり，一辺の長さが3である立方体がある．点A(0,0,3)，B(3,0,2)，C(3,3,1)を通る平面で立方体を切断したときの切り口を四角形ABCDとする．このとき，次の問に答えよ．
\begin{center}
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{picture}(10,9)(0,0)
\put(3,3){\vector(0,1){5}}
\put(3,3){\vector(-1,-1){2.5}}
\put(3,3){\vector(1,0){6}}
\put(2,2){\line(1,0){4}}
\put(2,5.5){\line(1,0){4}}
\put(2,2){\line(0,1){3.5}}
\put(6,2){\line(0,1){3.5}}
\put(2,5.5){\line(1,1){1}}
・・・

　国立 東京医科歯科大学 2012年 第2問

a2+b2=1を満たす正の実数a,bの組(a,b)の全体をSとする．Sに含まれる(a,b)に対し，xyz空間内に3点P(a,b,b)，Q(-a,b,b)，R(0,0,b)をとる．また原点をOとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)三角形OPQをx軸のまわりに1回転してできる立体をF1とする．(a,b)がSの中を動くとき，F1の体積の最大値を求めよ．
(2)三角形PQRをx軸のまわりに1回転してできる立体をF2とする．a=b=\frac{1}{√2}のとき，F2のxy平面による切り口の周をx・・・

　私立 上智大学 2012年 第3問

一辺の長さが1の正四面体OABCを考える．底面ABCの内接円の半径をrとおき，頂点Oを通り底面ABCに垂直な直線からの距離がr以下である点全体からなる円柱をTとする．
(1)r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}である．
(2)正四面体OABCの高さは\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}である．
(3)辺ABの中点と頂点Oとを結ぶ線分上に点Pをとり，x=OPとおく．Pを通り底面ABCに平行な平・・・

　国立 京都教育大学 2011年 第3問

立方体ABCD-EFGHの各辺の中点を，図1のようにI，J，・・・，\\
S，Tとする．
\img{473127920111}{15}

(1)ベクトルLM,ベクトルLKを使ってベクトルLQ,ベクトルLR,ベクトルLOをそれぞれ表せ．
(2)ベクトルLMとベクトルLKのなす角を求めよ．
(3)点M,L,Kを通る平面による立方体ABCD-EFGHの切り口は，正六角形であることを示せ．

　私立 早稲田大学 2011年 第5問

四面体OABCにおいてOA=BC=2，OB=3，OC=AB=4，AC=2√6である．
また，ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとする．以下の問に答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルa・ベクトルc,ベクトルb・ベクトルcを求めよ．
(2)△OABを含む平面をHとする．H上の点Pで直線PCとHが直交するものをとる．このとき，ベクトルOP=xベクトルa+yベクトルbとなるx,y・・・

　国立 東京大学 2010年 第6問

四面体OABCにおいて，4つの面はすべて合同であり，OA=3，OB=√7，AB=2であるとする．また，3点O，A，Bを含む平面をLとする．
(1)点Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく．ベクトルOHをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ．
(2)0＜t＜1をみたす実数tに対して，線分OA，OB各々をt:1-tに内分する点をそれぞれPt，Qtとおく．2点Pt，Qtを通り，平面Lに垂直な平面を・・・

　国立 富山大学 2010年 第2問

xyz空間内の6つの平面x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1によって囲まれた立方体をPとおく．Pをx軸のまわりに1回転してできる立体をPxとし，Pをy軸のまわりに1回転してできる立体をPyとする．さらに，PxとPyの少なくとも一方に属する点全体でできる立体をQとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Qと平面z=tが交わっているとする．このとき，Pxを平面z=tで切ったときの切り口をRxとし，Pyを平面z=tで切ったときの切り口をRyとする．Rxの面積，Ryの面積，およびR_・・・