「単位行列」について

　国立 東京学芸大学 2015年 第4問

次の(1),(2)から1題を選択し解答せよ．
(1)等式|i/z-1|=|1/z-k|を満たすすべての複素数zに対して不等式|z|≦2が成り立つような実数kの値の範囲を求めよ．
(2)実数kと2次の正方行列AはA2-kA+3E=Oを満たすとする．また，座標平面上でAの表す移動によって，点(1,1)は点(3,3)へ移り，直線y=-x上の点は同じ直線上の点に移るとする．このとき，Aを求めよ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列を表す．
\end{en・・・

　国立 北海道大学 2014年 第3問

逆行列をもつ2次の正方行列，A1,A2,A3,・・・が，関係式
A_{n+1}An=An+2E(n=1,2,3,・・・)
をみたすとする．さらにA1+Eは逆行列をもつとする．ここでEは2次の単位行列とする．
(1)すべての自然数nに対してAn+Eは逆行列をもち，
(A_{n+1}+E)^{-1}=1/2An(An+E)^{-1}
が成立することを示せ．
(2)Bn=(2E-An)(An+E)^{-1}により，行列Bnを定める．B_{n+1}とBnとの間に成立する関係式を求め，BnをB1とnを用いて表せ．

　国立 長岡技術科学大学 2014年 第2問

Aを2次の正方行列とし，Oを2次の零行列，Eを2次の単位行列とする．P=A-Eとおいたとき，P2=Oが成り立っているとする．下の問いに答えなさい．
(1)等式A2=2P+EとA3=3P+Eを示しなさい．
(2)自然数nに対してAnをPとEで表しなさい．
(3)A=(\begin{array}{cc}
2&1\
-1&0
\end{array})のとき，自然数nに対してAnを求めなさい．

　国立 三重大学 2014年 第2問

以下の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列である．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して|A|=ad-bcとおく．たとえば，A=(\begin{array}{cc}
1&2\
3&4
\end{array})のときは，|A|=1×4-2×3=-2である．A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とB=(\begin{array}{cc}
p&q\
r&s
\end{array})に対して|AB|=|A|×|B|が成り立つことを示せ．
(2)・・・

　国立 三重大学 2014年 第2問

以下の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列である．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して|A|=ad-bcとおく．たとえば，A=(\begin{array}{cc}
1&2\
3&4
\end{array})のときは，|A|=1×4-2×3=-2である．A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とB=(\begin{array}{cc}
p&q\
r&s
\end{array})に対して|AB|=|A|×|B|が成り立つことを示せ．
(2)・・・

　国立 山梨大学 2014年 第2問

実数を成分とする2次正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})が，実数kに対し，A2-kA=(k-3)Eを満たすとする．ただし，Eは2次の単位行列である．
(1)b≠0またはc≠0のとき，a+dおよびad-bcをkを用いた式で表せ．
(2)実数kがA(\begin{array}{c}
1\
k
\end{array})=(\begin{array}{c}
1\
k
\end{array})を満たすとき，kの値を求めよ．
(3)kを定数として，bcが最大となるようなa,dとそのときのbcを・・・

　国立 九州工業大学 2014年 第2問

A+B=E，AB=Oをみたす2×2行列A,Bを考える．ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．以下の問いに答えよ．
(1)A2=A，B2=B，BA=Oとなることを示せ．
(2)(A+αB)n=A+knBをみたす実数knを推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，αは実数であり，nは自然数である．
(3)A+αB=(\begin{array}{cc}
-1&-3\
2&4
\end{array})であるとき，A,Bと実数αを求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第3問

実数a,b,c(b≠0)に対して，次の問いに答えよ．
(1)2次方程式x2-(a+c)x+ac-b2=0は異なる2つの実数解をもつことを示せ．
(2)(1)の2つの実数解をα,β(α＜β)とする．xについての恒等式
(x+p)(x-α)-(x+q)(x-β)=1
が成り立つとき，定数p,qをα,βを用いて表せ．
(3)2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&c
\end{array})と(2)のα,pに対して，B=(A+pE)(A-αE)とおく．このとき，B2=B・・・

　国立 和歌山大学 2014年 第5問

次の条件を満たす2次正方行列A,Bがある．
A2=E,B2=-E,AB+BA=O
ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)次の(i)，(ii)，(iii)が成り立つことを示せ．
(i)(A+B+AB)2=E\qquad(ii)A+B≠O\qquad(iii)AB≠E
(2)(A+B)C=Oとなる零行列でない2次正方行列Cが存在することを示せ．

　国立 鳥取大学 2014年 第2問

実数a,b,θに対して，行列A,Rを以下のように定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array}),R=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})
またxy平面内の相異なる2点P0(px,py)およびQ0(qx,qy)を考える．0以上の整数nに対し，行列Anの表す1次変換による点P0，Q0の像をそれぞれPn，Qnとし，2点Pn，Qn間の距離をDn・・・