「単位行列」について

　国立 鳥取大学 2014年 第2問

実数a,b,θに対して，行列A,Rを以下のように定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array}),R=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})
またxy平面内の相異なる2点P0(px,py)およびQ0(qx,qy)を考える．0以上の整数nに対し，行列Anの表す1次変換による点P0，Q0の像をそれぞれPn，Qnとし，2点Pn，Qn間の距離をDn・・・

　国立 電気通信大学 2014年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
3&1\
-1&1
\end{array})について，以下の問いに答えよ．
(1)A(\begin{array}{c}
1\
a
\end{array})=k(\begin{array}{c}
1\
a
\end{array})を満たす実数a,kの値を求めよ．
(2)行列P=(\begin{array}{cc}
1&p\
q&0
\end{array})がAP=P(\begin{array}{cc}
r&1\
0&r
\end{array})を満たすとき，実数p,q,rの値を求めよ．
(3)自然数nに対して，行列B=(\begin・・・

　私立 獨協医科大学 2014年 第4問

行列A=r(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})で表される1次変換fについて考える．点P0の座標を(1,0)とし，nを正の整数とするとき，fによって点P_{n-1}が移される点をPnとする．また，Σ_{k=0}^{n-1}\overrightarrow{OPk}=\overrightarrow{OQn}となる点Qnの座標を(xn,yn)とし，n→∞のときにxn,ynがともに収束する場合の点Qnの極限値\・・・

　公立 岡山県立大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})と単位行列E，零行列Oに対して，等式
A2-(a+d)A+(ad-bc)E=O
が成り立つことを示せ．
(2)行列B=(\begin{array}{cc}
1&√3+1\
√3-1&2
\end{array})と自然数nに対して，
B+2B2+3B3+・・・+nBn=bnB
を満たす実数bnを求めよ．

　公立 大阪府立大学 2014年 第3問

a,bを定数とし，2次の正方行列A,X,Yは
A=aX+bY,X+Y=E,XY=O
をみたすとする．ここで，EとOはそれぞれ2次の単位行列と零行列を表す．このとき，X+Y=Eの両辺に左からXを掛けるとX2=Xが成り立つことがわかる．
(1)Y2=Y,YX=Oが成り立つことを示せ．
(2)AがEの定数倍ではないとき，A-aEとA-bEはともに逆行列をもたないことを示せ．
(3)A=(\begin{array}{cc}
-1&2\
6&3
\end{array})のとき，a,b(a＜b)およびX,Yを求めよ．
\end{・・・

　公立 滋賀県立大学 2014年 第3問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})（a,b,c,dは実数とする）に対して，2次方程式x2-(a+d)x+ad-bc=0は相異なる2つの実数解α,βをもつとする．いま，
P=\frac{1}{α-β}(A-βE),Q=\frac{1}{β-α}(A-αE)
とおく．ただし，Eは2次の単位行列である．
(1)PQ=QP=Oが成り立つことを示せ．ただし，Oは2次の零行列である．
(2)P+Q=E,P2=PおよびQ2=Qが成り立つことを示せ．
(3)A=αP+\・・・

　公立 広島市立大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ．
a1=2,a_{n+1}-an=(n+1)(n+2)(n=1,2,3,・・・)
(2)A=(\begin{array}{cc}
1&1\
-1&2
\end{array})とし，pA+qE（p,qは実数）の形の2次正方行列全体の集合をMとする．ただし，Eは2次の単位行列とする．
(i)Aの逆行列A^{-1}を求めよ．
(ii)A^{-1}は集合Mに属することを示せ．
(3)m,nを正・・・

　公立 会津大学 2014年 第2問

Eを2次の単位行列，Oを2次の零行列とする．正の実数aに対して，行列A=(\begin{array}{cc}
1&-a\
a&1
\end{array})が
A2-2A+4E=O
をみたすとき，以下の問いに答えよ．
(1)aを求めよ．
(2)A3を求めよ．
(3)A8を求めよ．

　国立 東北大学 2013年 第5問

2次の正方行列AをA=(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{√2}&-\frac{1}{√2}\
\frac{1}{√2}&-\frac{1}{√2}\
\end{array})で定める．n=1,2,3,・・・に対して，点Pn(xn,yn)を関係式
(\begin{array}{c}
xn\
yn
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x_{n-1}\
y_{n-1}
\end{array})+(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})(n=1,2,3,・・・)
で定め・・・

　国立 東京医科歯科大学 2013年 第2問

2次正方行列(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})のうち，次の3条件(i),(ii),(iii)を満たすもの全体の集合をMとする．
(i)a,b,c,dはすべて整数
(ii)b+c=0
(iii)a-b-d=0
またEを2次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)行列A,BがともにMの要素であるとき，それらの積ABもMの要素であることを示せ．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b・・・