「単位行列」について

　国立 九州大学 2013年 第5問

実数x,y,tに対して，行列
A=(\begin{array}{cc}
x&y\
-t-x&-x
\end{array}),B=(\begin{array}{rr}
5&4\
-6&-5
\end{array})
を考える．(AB)2が対角行列，すなわち(\begin{array}{cc}
α&0\
0&β
\end{array})の形の行列であるとする．
(1)命題「3x-3y-2t≠0⇒A=tB」を証明せよ．
以下(2)，(3)，(4)では，さらにA2≠EかつA4=Eであるとする．ただし，Eは単位行列を表す．
\mo・・・

　国立 東京工業大学 2013年 第2問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して，\Delta(A)=ad-bc,t(A)=a+dと定める．
(1)2次の正方行列A,Bに対して，\Delta(AB)=\Delta(A)\Delta(B)が成り立つことを示せ．
(2)Aの成分がすべて実数で，A5=Eが成り立つとき，x=\Delta(A)とy=t(A)の値を求めよ．ただし，Eは2次の単位行列とする．

　国立 静岡大学 2013年 第4問

nを自然数とする．αを実数とし，A=(\begin{array}{cc}
α+1&1\
-1&α-1
\end{array})とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)(A-αE)2=Oであることを示せ．ただし，Eは2次単位行列，Oは2次零行列とする．
(2)Anを求めよ．
(3)連立1次方程式An(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})=(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})の解x,yをすべて求めよ．

　国立 富山大学 2013年 第2問

f(x)=3/4x+\frac{1}{4x3}とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)x＞1のとき，f(x)＞1となることを示せ．
(2)x＞1のとき，関数
g(x)=\frac{f(x)-1}{x-1}
は増加関数であることを示せ．
(3)\lim_{x→1+0}g(x)，\lim_{x→∞}g(x)の値を求めよ．
(4)数列{xn}を漸化式
x1=2,x_{n+1}=f(xn)(n=1,2,3,・・・)
で定めるとき，\lim_{n→∞}xn=1を示せ．

　国立 富山大学 2013年 第3問

実数を成分とする行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})は，A3-3A+2E=O，A≠-2Eかつa+d≠2を満たすとする．ただし，Eは単位行列(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，Oは零行列(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Aは単位行列Eの実数倍ではないことを示せ．
(2)a+d,ad-bcの値を求めよ．
(3)Aの逆行列をA^{-1}として，自然数nに対して・・・

　国立 岩手大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，e^{2x}＞\frac{x2}{2}となることを示せ．
(2)A=(\begin{array}{cc}
0&p\
1&0
\end{array})（pは実数）について，A4=EかつA2≠Eのとき，pの値を求めよ．ただし，Eは単位行列とする．
(3)関数f(x)=axr+b(x＞0)において，f(2)=27，f(4)=87，f(8)=387を満たすとき，a,bの値を求めよ．
(4)Oを原点とする座標平面上に2点A(2,2√3)，B(1,0)をとる．点Aを通り，直・・・

　国立 徳島大学 2013年 第3問

実数a,bはab+\sqrt{(2-a2)(2-b2)}=0を満たす．
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
\sqrt{2-a2}&\sqrt{2-b2}
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
a&\sqrt{2-a2}\
b&\sqrt{2-b2}
\end{array})
とする．
(1)a2+b2の値を求めよ．
(2)2×1行列X=(\begin{array}{c}
s\
t
\end{array})に対して，|X|=\sqrt{s2+t2}と定める．P=(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})に対して，|BP|=√2\・・・

　国立 香川大学 2013年 第2問

0＜θ≦πに対してA=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})とおく．nを2以上の自然数とするとき，次の問に答えよ．
(1)Anを求めよ．
(2)Sn=E+A+A2+・・・+A^{n-1}とおくとき，Sn=P(An-E)となる行列Pを求めよ．ここで，Eは単位行列である．
(3)θ=\frac{2π}{n}のとき，1+cosθ+cos2θ+・・・+cosnθを求めよ．

　国立 茨城大学 2013年 第3問

θ=\frac{2π}{3}とし，A=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})とおく．また，2次の単位行列をEで表す．以下の各問に答えよ．
(1)A3=Eを示せ．
(2)rを実数とする．自然数kに対して，行列(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}の(1,1)成分をakとおくとき，akをrを用いて表せ．
(3)自然数Nに対してxN=2Σ_{k=0}Nakとする．ただしakは，k≧1のときは(2)で定めたも・・・

　国立 鹿児島大学 2013年 第5問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して，\Delta(A)=ad-bcとおく．たとえば単位行列E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})に対しては\Delta(E)=1×1-0×0=1となる．またK=(\begin{array}{cc}
2&3\
5&7
\end{array})に対しては\Delta(K)=2×7-3×5=-1となる．次の各問いに答えよ．
(1)P=(\begin{array}{cc}
0&1\
2&3
\end{array}),Q=(\begin{・・・