「単位行列」について

　国立 岐阜大学 2013年 第5問

a,bをa2+\frac{b2}{6}=1を満たす正の実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
2√2a&b\
-b&-√2a
\end{array})に対して，以下の問に答えよ．
(1)実数p,qがA2=pA+qEを満たすとき，p,qをaを用いて表せ．ただし，Eは2次の単位行列とする．
(2)a=\frac{1}{√2}のとき，Σ_{k=1}^{100}(-1)kAkを求めよ．
(3)a=\frac{1}{√2}とし，mを正の整数とする．xとyについての方程式A・・・

　私立 金沢工業大学 2013年 第5問

行列A=1/2(\begin{array}{cc}
1&-√3\
√3&1
\end{array})を考える．また，Eを単位行列とする．
(1)A=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})(0≦θ＜2π)と表すと，θ=\frac{[ア]}{[イ]}である．
(2)E+A+A2=(\begin{array}{cc}
[ウ]&-\sqrt{[エ]}\
\sqrt{[オ]}&[カ]
\end{array})，・・・

　私立 日本医科大学 2013年 第1問

2つの行列A=(\begin{array}{cc}
1&2\
-3&6
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
a-2&-1\
a2-2a-4&2a-6
\end{array})に対して，以下の各問いに答えよ．
(1)行列A-kEが逆行列をもたないような定数kの値を求めよ．ただしEは2次の単位行列を表す．
(2)(1)で求めたkの値を小さい順にα,βとするとき，αP+βQ=A，P+Q=Eを満たす行列P,Qを求めよ．
(3)行列の積P2,Q2,PQ,QPを求めよ．
(4)行列Aのn乗An(n=1・・・

　公立 京都府立大学 2013年 第4問

a,b,cは0でない実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&c
\end{array})について，以下の問いに答えよ．
(1)BABは対角行列，かつ，B2は単位行列とするとき，B=(\begin{array}{cc}
p&q\
q&r
\end{array})の成分はすべて実数であることを示せ．
(2)a=5/8,b=-1/2,c=1/3とする．自然数nに対して(\begin{array}{c}
xn\
yn
\end{array})=An(\begin{array}{c}
3\
4
\end{a・・・

　公立 名古屋市立大学 2013年 第2問

逆行列をもつ行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})によって表される1次変換を考える．以下の問いに答えよ．
(1)この変換によってxy平面上の任意の2点P(x1,y1)およびQ(x2,y2)がそれぞれP´({x1}´,{y1}´)およびQ´({x2}´,{y2}´)に移されるとき，2点間の距離が変換によって変化しない，つまり，|ベクトルPQ|2=|\overrightarrow{P´Q´}|2であるための必要十分条・・・

　公立 名古屋市立大学 2013年 第3問

2次の正方行列A,BがAB≠BA，A2B=ABA=BA2を満たすとする．
(1)Aは逆行列をもたないことを証明せよ．
(2)A2を求めよ．
(3)B2が単位行列Eのとき，AB+BAを求めよ．

　公立 横浜市立大学 2013年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a,b,cを実数として，A,B,Cを
A=a+b+c,B=a2+b2+c2,C=a3+b3+c3
とおく．このときabcをA,B,Cを用いて表せ．
(2)nを自然数とする．このとき
Σ_{k=0}^{n-1}\frac{\comb{2n}{2k+1}}{2k+2}
を求めよ．
(3)ボタンを押すとX，Y，Zいずれかの文字が画面に表示される機械がある．その機械では，XとYが表示される確率は，等しくかつZが表示される確率の2倍である，とする．いま，ボタンを5・・・

　公立 北九州市立大学 2013年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
3&1\
1&2
\end{array})について，以下の問いに答えよ．ただし，EとOはそれぞれ2次の単位行列と零行列である．答えを導く過程も示すこと．
(1)行列Aに対して，等式A2-5A+5E=Oが成り立つことを示せ．
(2)行列Bについて，B=A4-3A3-3A2+2A+9Eのとき，行列Bを求めよ．
(3)行列Aの表す1次変換によって，直線2x-y+1=0上の点を移す．このとき，像を表す図形の方程式を求めよ．

　国立 九州大学 2012年 第2問

2次の正方行列A,Bはそれぞれ
\begin{eqnarray}
A(\begin{array}{r}
-3\\
5
\end{array})=(\begin{array}{r}
0\\
-1
\end{array}),&&A(\begin{array}{r}
7\\
-9
\end{array})=(\begin{array}{r}
8\\
-11
\end{array}),\nonumber\\
B(\begin{array}{r}
0\\
-1
\end{array})=(\begin{array}{r}
-5\\
6
\end{array}),&&B(\begin{array}{r}
8\\
-11
\end{array})=(\begin{array}{r}
-7\\
1・・・

　国立 埼玉大学 2012年 第2問

行列Aを(
\begin{array}{ccc}
a&1\\
b&2
\end{array}
)とし，E,Oをそれぞれ2次の単位行列，零行列とする．
(1)A2-5A+4E=Oを満たす実数a,bを求めよ．
(2)nを2以上の自然数とする．xnをx2-5x+4で割った余りを求めよ．
(3)a,bを(1)で求めた実数とする．2以上の自然数nに対して，Anを求めよ．