「単位行列」について

　公立 奈良県立医科大学 2012年 第3問

各成分が0以下の整数からなる2行2列の行列
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
で，A2+A=Eを満たすものをすべて求めよ．（ただし，Eは単位行列を表す．）

　国立 富山大学 2011年 第3問

実数を成分とする行列A=\biggl(\begin{array}{rr}
a&-b\\
b&c
\end{array}\biggr)はA2-A+E=Oをみたすとする．ただし，Eは2次の単位行列，Oは2次の零行列を表し，b＞0とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)bとcを，それぞれaを用いて表せ．
(2)2つのベクトルA\biggl(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\biggr)とA\biggl(\begin{array}{c}
1\\
-1
\end{array}\biggr)が垂直であるとき，行列Aを求めよ．
(3)Aを(2)で求めた行列とする．1個のさいころを2回投げて，出た目を・・・

　国立 富山大学 2011年 第3問

実数を成分とする行列A=(\begin{array}{rr}
a&-b\\
b&c
\end{array})はA2-A+E=Oをみたすとする．ただし，Eは2次の単位行列，Oは2次の零行列を表し，b＞0とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)bとcを，それぞれaを用いて表せ．
(2)2つのベクトルA(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array})とA(\begin{array}{c}
1\\
-1
\end{array})が垂直であるとき，行列Aを求めよ．
(3)Aを(2)で求めた行列とする．1個のさいころをk+1回投げて，出た目・・・

　国立 東京学芸大学 2011年 第1問

実数a,bに対して，行列A=(\begin{array}{cc}
a-1&2a\\
1&2a-1
\end{array})が(A-bE)2=Oをみたしているとき，a,bの値を求めよ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列とする．

　国立 山形大学 2011年 第2問

2次の正方行列A,Bと実数pが
A+B=3E,pA-B=\biggl(\begin{array}{cc}
0&-3\\
-6&3
\end{array}\biggr),AB=O
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．
(1)(p+1)A=\biggl(\begin{array}{cc}
3&-3\\
-6&6
\end{array}\biggr),(p+1)B=\biggl(\begin{array}{cc}
3p&3\\
6&3(p-1)
\end{array}\biggr)を示せ．
(2)実数pの値と行列A,Bを求めよ．
(3)自然数nに対して，A^{n+1}=3Anを示し，Anを求めよ．

　国立 和歌山大学 2011年 第5問

A=(\begin{array}{ccc}
9&4&8\\
-8&-3&-8\\
4&2&5
\end{array})とし，Eを3次の単位行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)A2-10A=-9Eであることを示せ．
(2)AB=(\begin{array}{ccc}
-3&4&-18\\
5&-1&18\\
-4&1&-9
\end{array})を満たす行列Bを求めよ．

　国立 鹿児島大学 2011年 第5問

次の行列Aを考える．
A=(\begin{array}{cc}
-2&2\\
-2&0
\end{array})
次の各問いに答えよ．
(1)2×2行列Xに対して，E-Xが逆行列を持つとき
E+X+X2+・・・+Xn=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1}
が成立することを示せ．ただし，Eは2×2の単位行列である．
(2)A2とA3を計算せよ．さらにA^{100}とA^{101}を計算せよ．
(3)E+A+A2+・・・+A^{100}を計算せよ．

　国立 愛媛大学 2011年 第1問

四面体OABCの辺OB，OC，AC，ABの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．また，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとする．
(1)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて，ベクトルASとベクトルARを表せ．
(2)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて，ベクトルPQ，ベクトルPS，ベクトルSRを表せ．
(3)点O，A，B，Cの座標が実数tを用いて，それぞれ(・・・

　国立 山梨大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数xに対して[x]をm≦x＜m+1を満たす整数mとする．このとき
\lim_{n→∞}\frac{[10^{2n}π]}{10^{2n}}
を求めよ．
(2)y=log\frac{\sqrt{1+ex}-1}{\sqrt{1+ex}+1}を微分せよ．
(3)0＜x＜πにおいてsinx+sin2x=0を満たすxを求めよ．また，定積分∫0^π|sinx+sin2x|dxを求めよ．
(4)Aを2次正方行列とする．A2-2011A+E=OならばAは逆行列を持つことを示せ．ただし，Eは単位行列，Oは零行・・・

　私立 関西大学 2011年 第2問

a,bを実数の定数とし，3つの行列
A=(\begin{array}{rr}
3&-2\
a&1
\end{array}),R=1/2(\begin{array}{rr}
5&-4\
6&-5
\end{array}),Q=(\begin{array}{cc}
1/2&0\
0&b
\end{array})
はAR=QAを満たしている．次の[]をうめよ．
AR=QAを満たすaの値は2つある．そのうち，Aが逆行列をもたないのは，a=[①]のときであり，このとき，b=[②]で・・・