「単位行列」について

　公立 首都大学東京 2011年 第3問

2次の正方行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)のすべての成分は正であるとする．以下の問いに答えなさい．
(1)tの2次方程式
t2-(a+d)t+ad-bc=0・・・・・・(*)
が異なる2つの実数解をもつことを示し，また，大きい方の解は正であることを示しなさい．
(2)(*)の大きい方の解をt=βと表す．実数yで，
(A-βE)\biggl(\begin{array}{c}
b\\
y
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}
0\\
0
\end{array}\biggr)
をみたすも・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第3問

3次の正方行列(\begin{array}{ccc}
a&b&c\\
0&d&e\\
0&0&f
\end{array})について，以下の問いに答えよ．ただし，Aと同じ型の単位行列をE，零行列をOとする．
(1)A3を求めよ．
(2)A3=Oであるための必要十分条件は，a=d=f=0であることを示せ．
(3)(A+E)3=Eならば，A=Oであることを示せ．

　公立 岐阜薬科大学 2011年 第4問

A=(\begin{array}{cc}
a&1\
1&a
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
1&a\
a&1
\end{array})についてC=ABと定め，行列Cの表す1次変換（移動）をfとする．ただし，B≠E（単位行列），aは実数とする．
(1)行列の積C=ABを計算せよ．
(2)1次変換fによって，点(0,1)を通る直線ℓ上のすべての点がすべてその直線ℓ上に移るとき，aの値と直線ℓの方程式を求めよ．

　国立 北海道大学 2010年 第2問

実数を成分とする行列A=(
\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}
)がA2-A+E=Oを満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．
(1)Aは逆行列をもつことを示せ．
(2)a+dとad-bcを求めよ．
(3)b＞0,A^{-1}=(
\begin{array}{cc}
a&c\\
b&d
\end{array}
)のとき，Aを求めよ．

　国立 山形大学 2010年 第2問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)に対して\Delta=ad-bcとおく．このとき，行列
S=\biggl(\begin{array}{cc}
s-2&4-s\\
4-s&2-s
\end{array}\biggr),T=\biggl(\begin{array}{cc}
1-t&t2-1\\
t+1&t-1
\end{array}\biggr)
について，次の問に答えよ．
(1)Sが\Delta=-2を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)]Sを求めよ．
\mon[(ii)]S2を求めよ．
\mon[(iii)]S+S2+・・・+S^{2n-1}+S^{2n}を求めよ．・・・

　国立 福井大学 2010年 第4問

pを0でない実数とし，行列A,Bをそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
A=\biggl(\begin{array}{cc}
p-1/p&1\\
2&-p
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
1/p&-1
\end{array}\biggr)
(1)等式A^{-1}=aA+bEが成り立つ定数a,bをpで表せ．ただし，Eは2次の単位行列である．
(2)AB=Cとおく．E+Cの逆行列が存在することを示し，さらに自然数mに対して等式
E-C+C2-C3+・・・-C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1}
が・・・

　国立 山形大学 2010年 第3問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)に対して\Delta=ad-bcとおく．このとき，行列
S=\biggl(\begin{array}{cc}
s-2&4-s\\
4-s&2-s
\end{array}\biggr),T=\biggl(\begin{array}{cc}
1-t&t2-1\\
t+1&t-1
\end{array}\biggr)
について，次の問に答えよ．
(1)Sが\Delta=-2を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)]Sを求めよ．
\mon[(ii)]S2を求めよ．
\mon[(iii)]S+S2+・・・+S^{2n-1}+S^{2n}を求めよ．・・・

　私立 北海学園大学 2010年 第7問

行列X=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})について，次の問いに答えよ．ただし，0≦θ＜2πとする．
(1)行列X2-(2cosθ)Xを計算せよ．
(2)θ=π/3のとき，行列X3+Eを計算せよ．ただし，Eは2次の単位行列とする．
(3)X3-2X2+X=Oを満たすθの値をすべて求めよ．ただし，Oは2次の零行列とする．

　私立 北海学園大学 2010年 第6問

行列X=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})について，次の問いに答えよ．ただし，0≦θ＜2πとする．
(1)行列X2-(2cosθ)Xを計算せよ．
(2)θ=π/3のとき，行列X3+Eを計算せよ．ただし，Eは2次の単位行列とする．
(3)X3-2X2+X=Oを満たすθの値をすべて求めよ．ただし，Oは2次の零行列とする．

　公立 名古屋市立大学 2010年 第2問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)(ただしb≠0)が，ある自然数k≧3に対してAk=O(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)行列Aは逆行列を持たないことを示せ．
(2)A2=Oであることを示せ．
(3)0でない実数をp，単位行列をEとおく．A-pEが逆行列を持つことを示し，それをa,b,pで表せ．