「単位行列」について

　公立 兵庫県立大学 2010年 第2問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
cosα&4/3cosβ\\
3/4sinα&sinβ
\end{array})が表す1次変換が座標平面における楕円C:\frac{x2}{42}+\frac{y2}{32}=1をそれ自身に移すとする．このとき次の問いに答えよ．
(1)αをβの式で表せ．
(2)A3=E(単位行列)となる行列Aをすべて求めよ．

　公立 大阪府立大学 2010年 第3問

単位行列Eの実数倍ではない行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)を考える．Aで表わされるxy平面上の移動をfとする．
(1)A2=kEを満たす実数kが存在するための必要十分条件は，a+d=0であることを示せ．
(2)a+d=0のとき，原点Oとは異なる点Pで，f(P)が直線OP上にあるものが存在すれば，a2+bc≧0であることを示せ．
(3)a+d=0かつa2+bc≧0であるとする．このとき\lambda=\sqrt{a2+bc}とおけば，(A-\lambdaE)(A+\lambdaE)=Oが成り立つことを示・・・

　公立 名古屋市立大学 2010年 第1問

ある自然数k≧3に対して行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})（ただしb≠0）が，Ak=O(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)行列Aは逆行列を持たないことを示せ．
(2)A2=Oであることを示せ．
(3)0でない実数をp，単位行列をEとおく．A-pEが逆行列を持つことを示し，逆行列をa,b,pで表せ．

　公立 京都府立大学 2010年 第4問

Aを成分が実数である2次の正方行列，Eを2次の単位行列とする．数列{an}を漸化式
a1=1,a_{n+1}=an+2n,(n=1,2,・・・)
によって定める．bn=Σ_{k=1}nakとおく．また，座標平面上の点Pn(xn,yn)を
\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{array}\biggr)=A^{bn}\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr),(n=1,2・・・