「単調」について

　国立 九州大学 2015年 第2問

以下の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{1}{x(logx)2}はx＞1において単調に減少することを示せ．
(2)不定積分∫\frac{1}{x(logx)2}dxを求めよ．
(3)nを3以上の整数とするとき，不等式
Σ_{k=3}n\frac{1}{k(logk)2}＜\frac{1}{log2}
が成り立つことを示せ．

　国立 信州大学 2014年 第4問

座標平面において，C:y=e^{-x}(x＞0)上の点(a,e^{-a})の接線をLとおき，Lとx軸との交点をA，Lとy軸との交点をB，原点をOとする．三角形OABの面積をS1とし，y軸，L，Cで囲まれる図形の面積をS2とおく．
(1)S1,S2をそれぞれ求めよ．
(2)a＞0のとき，(a-1)ea+1＞0であることを示せ．
(3)\frac{S2}{S1}をaの関数とみたとき，区間(0,∞)で単調に増加することを示せ．

　国立 熊本大学 2013年 第3問

半径1，中心角θ(0＜θ＜π)の扇形に内接する円の半径をf(θ)とおく．以下の問いに答えよ．
(1)f(θ)を求めよ．
(2)0＜θ＜πの範囲でf(θ)は単調に増加し，f´(θ)は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
∫_{π/3}^{π/2}f(θ)dθ
を求めよ．

　国立 熊本大学 2013年 第3問

半径1，中心角θ(0＜θ＜π)の扇形に内接する円の半径をf(θ)とおく．以下の問いに答えよ．
(1)f(θ)を求めよ．
(2)0＜θ＜πの範囲でf(θ)は単調に増加し，f´(θ)は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
∫_{π/3}^{π/2}f(θ)dθ
を求めよ．

　国立 大分大学 2012年 第3問

関数y=f(x)=x3-3/2x2+3/2に関して，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)とy=xのグラフを描け．
(2)1＜x0＜3/2に対して，x_{n+1}=f(xn)(n=0,1,2,・・・)を定義する．このとき，xn＞x_{n+1}(n=0,1,2,・・・)を示せ．
(3)数列{an}が単調減少で，ある実数Lに対してan＞L(n=0,1,2,・・・)ならば\lim_{n→∞}anが存在する．このことを用いて，数列{xn}の極限を求めよ．

　国立 茨城大学 2012年 第2問

すべての実数tに対して関数f(t),g(t)をf(t)=et-e^{-t},g(t)=et+e^{-t}と定義する．ただし，eは自然対数の底とする．次の各問に答えよ．
(1)すべてのtに対してg(t)≧2であることを示せ．
(2)f(t)は単調増加であることを示せ．
(3)x=f(t),s=etとするとき，sをxを用いて表せ．
(4)x=f(t)の逆関数t=f^{-1}(x)を求めよ．
(5)不定積分∫\frac{1}{\sqrt{x2+4}}dxをx=f(t)と置換積分して求めよ．
\mon座標平面上でtを媒介変数とする曲線x=f(t),y=g(・・・

　国立 旭川医科大学 2011年 第3問

曲線y=e^{ax+b}(a≧1)と曲線y=e^{-x}が一点で交わり，交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする．次の問いに答えよ．
(1)交点の座標を(x(a),y(a))とおくとき，b,x(a),y(a)をそれぞれaを用いて表せ．
(2)曲線y=e^{ax+b}(a≧1)をC(a)で表す．曲線C(a)と曲線C(a+1)の交点のx座標をX(a)とおくとき，
\lim_{a→∞}(X(a)-x(a))
を求めよ．
(3)X(a)-x(a)はa≧1のとき単調減少であることを示せ．

　国立 宮城教育大学 2011年 第4問

関数f(x)=e^{3x}+e^{-3x}-12(ex+e^{-x})を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)g(x)=ex-e^{-x}とおく．関数g(x)は単調増加であることを示せ．
(2)u=g(x)とおくとき，f(x)の導関数f´(x)をuを用いて表せ．
(3)関数y=f(x)の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．

　公立 大阪市立大学 2011年 第3問

p,qは正の実数でp＞qとする．x＞0において，2つの関数
f(x)=e^{px}+e^{-px},g(x)=e^{qx}+e^{-qx}
を考える．次の問いに答えよ．
(1)f(x)＞2を示せ．
(2)f(x)＞g(x)を示せ．
(3)h(x)=\frac{f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)}{f(x)-g(x)}とするとき，h(x)はx＞0において単調減少であることを示せ．

　公立 大阪府立大学 2011年 第5問

2つの関数f(t)=tlogtとg(t)=t3-9t2+24tが与えられているとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(t)はt≧1の範囲で単調に増加することを示せ．
(2)t≧1のとき
{
\begin{array}{l}
x=f(t)\\
y=g(t)
\end{array}
.
と媒介変数表示される関数y=h(x)のx≧0の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．
(3)xy平面上で，曲線y=h(x)，2直線x=f(2),x=f(4)とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．