「双曲線」について

　国立 旭川医科大学 2013年 第2問

aを正の実数とする．双曲線C:x2-a2y2+a2=0上の4点A1(0,1)，A2(0,-1)，A3(a,√2)，A4(-2a,-√5)が与えられている．A1におけるCの接線をℓ1，A3におけるCの接線をℓ3とする．次の問いに答えよ．
(1)ℓ1とℓ3の交点Sの座標を求めよ．
(2)直線A1A2と直線A3A4の交点Uの座標，および直線A1A4と直線A2A3の交点Vの座・・・

　国立 小樽商科大学 2013年 第5問

双曲線y=1/x+4/3をC1，曲線y=-1/3x3+aをC2，C2とx軸の交点を通るy軸と平行な直線をLとする．ただしaは実数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)C1とC2が第一象限で接するとき，aの値を求めよ．
(2)(1)で求めたaに対して，C1とC2とLで囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 福井大学 2013年 第4問

双曲線C:\frac{x2}{16}-\frac{y2}{9}=1上に点A(\frac{4}{cosθ},3tanθ)，B(4,0)をとる．ただし，0＜θ＜π/2とする．AにおけるCの接線とBにおけるCの接線との交点をDとし，Cの焦点のうちx座標が正であるものをFとおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)Dの座標を求めよ．
(2)tanθ/2=mとおく．tan∠DFB・・・

　私立 昭和大学 2013年 第3問

次の各問に答えよ．
(1)双曲線H:\frac{x2}{16}-\frac{y2}{9}=1について，次の問に答えよ．
(i)双曲線Hの焦点の座標を求めよ．
(ii)双曲線Hについて正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ．
(iii)(ii)で求めた漸近線と直交する直線がHと接するとき，その接点の座標を求めよ．
(2)不等式9a＞b,logab＞logba4+3をすべて満たす整数a,bの値を求めよ．
(3)直線x-y+2=0をℓとし，直線x+y-3=0・・・

　私立 金沢工業大学 2013年 第3問

座標平面において次の2つの2次曲線を考える．
(1)原点Oと直線x=-2からの距離が等しい点の軌跡の方程式は
y2=[ア](x+[イ])
である．
(2)2直線y=3/4x-9/4，y=-3/4x+9/4を漸近線にもち，2つの焦点の座標が(-2,0)，(8,0)である双曲線の方程式は
\frac{(x-[ウ])2}{[エ][オ]}-\frac{y2}{[カ]}=1
である．
(3)(1)と(2)の2つの曲線の共有点は[キ]個ある．
\end{enu・・・

　公立 九州歯科大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)頂点間の距離が24であり，焦点が(20,0)と(-20,0)である双曲線の方程式を求めよ．
(2)初項をa1=4とする数列{an}と初項をb1=1とする数列{bn}に対して，cn=\sqrt{anbn}，dn=\sqrt{\frac{an}{bn}}とおく．ただし，an＞0，bn＞0とする．数列{cn}が公差2の等差数列となり，数列{dn}が公比3の等比数列となるとき，a5とb5の値を求めよ．
(3)関数f(x)=Ax5+Bx4+Cx3+Dx2+Ex+Fが
f(-x)=-f(x),\lim_{・・・

　国立 筑波大学 2012年 第6問

2つの双曲線C:x2-y2=1,H:x2-y2=-1を考える．双曲線H上の点P(s,t)に対して，方程式sx-ty=1で定まる直線をℓとする．
(1)直線ℓは点Pを通らないことを示せ．
(2)直線ℓと双曲線Cは異なる2点Q，Rで交わることを示し，△PQRの重心Gの座標をs,tを用いて表せ．
(3)(2)における3点G，Q，Rに対して，△GQRの面積は点P(s,t)の位置によらず一定であることを示せ．

　国立 香川大学 2012年 第2問

楕円C1:\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1および双曲線C2:\frac{x2}{a2}-\frac{y2}{b2}=1について，次の問に答えよ．ただし，a＞0,b＞0とする．
(1)楕円C1上の点(x1,y1)における接線の方程式は
\frac{x1x}{a2}+\frac{y1y}{b2}=1
であることを示せ．
(2)楕円C1の外部の点(p,q)を通るC1の2本の接線の接点をそれぞれA1，A2とする．直線A1A2の方程式は
\frac{px}{a2}+\frac{qy}{b2}=1
であることを示せ．
(3)(p,q)が双曲線・・・

　私立 関西大学 2012年 第4問

次の[]をうめよ．
(1)\lim_{x→-∞}(\sqrt{x2+3x}+x)の値は[①]である．
(2)Σ_{k=1}nk\comb{n}{k}を計算すると[②]となる．
(3)座標空間の原点をOとし，tを実数とする．どのようなtの値に対しても，点P(cost,\frac{-1+sint}{√2},\frac{1+sint}{√2})は原点を中心とする半径[③]の球面上にある．また，実数sに対して，点Q(0,・・・

　公立 兵庫県立大学 2012年 第5問

双曲線x2-y2=1上に3点A(1,0)，B(-1,0)，P(t,s)をとる．ただし，t,sはt＞1，s＞0の範囲を動くとする．次の問いに答えよ．
(1)点P(t,s)と点B(-1,0)を通る直線と，点Q(t,-s)と点A(1,0)を通る直線の交点をR(u,v)とする．u,vをtで表せ．
(2)点R(u,v)の軌跡を求めよ．