「反例」について

　私立 大阪薬科大学 2012年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)自然数m,nに対し，命題「m2+n2が偶数ならば，m+nは偶数である」が真ならば「真」と，偽ならば反例を[A]に記入しなさい．
(2)2x=5y=100のとき，1/x+1/y=[B]となる．
(3)xy座標平面において，円x2+y2=3と直線x+y=1の2つの交点を結ぶ線分の長さは，[C]である．
(4)数直線上を動く点Pが原点Oにある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出ると正方向に1だ・・・

　公立 兵庫県立大学 2012年 第1問

次の問に答えなさい．
(1)実数x,yに関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．
(i)xとyが共に無理数であることはx+yが無理数であることの十分条件である．
(ii)xとyのいずれかが無理数であることはx+yが無理数であることの必要条件である．
(iii)xが有理数でyが無理数であることはx+yが無理数であることの十分条件である．
(2)数列{an}をa1=1,a2=1,an=a_{n-2}+a_{n-1}・・・

　公立 高崎経済大学 2012年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)3次関数f(x)=ax3+bx2-6がある．f^{\prime}(1)=7,f^{\prime}(-2)=4となるように定数a,bの値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，i2=-1である．\frac{2-i}{1+2i}
(3)(2x2-1)6を展開したとき，x4の項の係数を求めよ．
(4)20本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は1等1000円が1本，2等500円が2本，3等300円が3本である．ただし，はずれくじの賞金は0円である．いま，この中から1本のくじを引くときの賞金の期待値を求め・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)次の各命題について，真であれば証明し，偽であれば反例を1つあげよ．
\mon[(A)]実数aについて，\sqrt{a2}とaは等しい．
\mon[(B)]正の実数bとcについて，\sqrt[3]{b+c}と\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}は等しくない．
\mon[(C)]実数xについて，|2x-1|=xならばx=1である．
(2)α=(√3+1)x,β=(√3-1)xとするとき，αβ=7となるようなxの値を求めよ．

　私立 大同大学 2011年 第8問

次の命題①～⑥を考える．ただしa,b,xは実数とする．
①a＞bならばa-b＞1
②a＞bならばb-a＜1
③a2=b2ならばa=b
④x＞3ならばx2-x-6＞0
⑤x2-x-6＞0ならばx＞3
⑥鈍角三角形の最小の角は{45}°より小さい
(1)正しい命題の番号を書け．
(2)正しくない命題のそれぞれに対し，反例をあげよ．

　公立 公立はこだて未来大学 2011年 第1問

x,yは実数とする．命題「3x2+y2+4xy≠0ならばx+y≠0である」について，以下の問いに答えよ．
(1)命題の逆，裏，対偶をそれぞれ述べよ．
(2)命題を証明せよ．
(3)命題の裏の反例を1つあげよ．

　国立 鹿児島大学 2010年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)正の実数aに関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)aが自然数ならば√aは無理数である．
(3)aが無理数ならば√aも無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)△ABCにおいて，∠A=75°,∠B=60°,AB=1とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と△\ten・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)正の実数aに関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)aが自然数ならば√aは無理数である．
(3)aが無理数ならば√aも無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)△ABCにおいて，∠　A　=75°,∠　B　=60°,　AB　=1とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と△ABCの外接円との交点をPとする・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)正の実数aに関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)aが自然数ならば√aは無理数である．
(3)aが無理数ならば√aも無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)△ABCにおいて，∠　A　=75°,∠　B　=60°,　AB　=1とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と△ABCの外接円との交点をPとする・・・

　国立 愛知教育大学 2010年 第7問

2次の正方行列A,Bに対して，次の命題が真か偽かを答えよ．さらに，真ならば証明をし，偽ならば反例をあげよ．
(1)A,Bがともに逆行列を持つならば，和A+Bも逆行列を持つ．
(2)行列の和A+Bが逆行列を持つならば，A,Bはともに逆行列を持つ．
(3)A,Bがともに逆行列を持つならば，積ABAも逆行列を持つ．
(4)行列の積ABAが逆行列を持つならば，A,Bはともに逆行列を持つ．