「反例」について

　国立 千葉大学 2010年 第11問

f(x)は実数全体で定義された関数とする．実数aに関する条件(P)を考える．
(P)正の実数rを十分小さく選べば，|x-a|＜rをみたすすべての実数xに対してf(x)≦f(a)が成り立つ．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)実数aが条件(P)をみたし，かつ，f(x)がx=aで微分可能ならば，f´(a)=0であることを証明せよ．
(2)関数f(x)が
f(x)={
\begin{array}{ll}
|x|-x&(x＜1　のとき　)\\
\abs{x2-6x+8・・・

　私立 東北学院大学 2010年 第5問

次の命題の真偽を述べよ．また，真であるときは証明し，偽であるときは反例（成り立たない例）をあげよ．ただし，x,yは実数とし，nは自然数とする．
(1)xが無理数ならば，x2とx3の少なくとも一方は無理数である．
(2)x+y,xyがともに有理数ならば，x,yはともに有理数である．
(3)n2が8の倍数ならば，nは4の倍数である．