「収束」について

　国立 大阪大学 2015年 第1問

自然数nに対して関数fn(x)を
fn(x)=\frac{x}{n(1+x)}log(1+x/n)(x≧0)
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)∫0nfn(x)dx≦∫01log(1+x)dxを示せ．
(2)数列{In}を
In=∫0nfn(x)dx
で定める．0≦x≦1のときlog(1+x)≦log2であることを用いて数列{In}が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0であることは・・・

　国立 金沢大学 2015年 第4問

a＞1とする．無限等比級数
a+ax(1-ax)+ax2(1-ax)2+ax3(1-ax)3+・・・
が収束するとき，その和をS(x)とする．次の問いに答えよ．
(1)この無限等比級数が収束するような実数xの値の範囲を求めよ．また，そのときのS(x)を求めよ．
(2)xが(1)で求めた範囲を動くとき，S(x)のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)I(a)=∫0^{1/a}S(x)dxとおくとき，極限値\lim_{a→∞}I(a)を求めよ．

　国立 三重大学 2015年 第4問

実数xに対し
an(x)=(\frac{-x2+8x-19}{x2-6x+5})n(n=1,2,3,・・・)
とおく．ただしxは1でも5でもないとする．以下の問いに答えよ．
(1)\lim_{n→∞}an(x)が収束するxの範囲と，そのときの極限値を求めよ．
(2)∫23a1(x)dxを求めよ．

　私立 金沢工業大学 2015年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)実数xについて，等式
sinx-√3cosx=[ス]sin(x-\frac{π}{[セ]})
が成り立つ．
(2)0≦x＜2πを満たす実数xについて，無限等比級数
1+(sinx-√3cosx)+{(sinx-√3cosx)}2+{(sinx-√3cosx)}3+・・・
は\frac{π}{[ソ]}＜x＜\frac{π}{[タ]},\frac{[チ]}{[ツ]}π＜x＜\frac{[テ]}{[ト]}πで収束し，その和は
\frac{1}{1-[ナ]sin\・・・

　国立 名古屋大学 2014年 第3問

xy平面のy≧0の部分にあり，x軸に接する円の列C1,C2,C3,・・・を次のように定める．
\begin{itemize}
C1とC2は半径1の円で，互いに外接する．
正の整数nに対し，C_{n+2}はCnとC_{n+1}に外接し，CnとC_{n+1}の弧およびx軸で囲まれる部分にある．
\end{itemize}
円Cnの半径をrnとする．
(1)等式\frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{rn}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}を示せ．
(2)すべての正の整数nに対して\display・・・

　国立 防衛医科大学校 2014年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)[1/3x+1]=[2x-1]を満たす実数xの範囲を求めよ．ここで，[x]はxを超えない最大の整数である．
(2)△ABCと，ベクトルMA+ベクトルMB+kベクトルMC=ベクトル0(k＞0)を満たす点Mが存在する．点Aと点Mを通る直線と辺BCの交点をNとする．3/4ベクトルBC=ベクトルBNのとき，kはいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列{an}(n=1,2,3,・・・)が，漸化式・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第3問

a1=0，a_{n+1}=log(an+e)(n=1,2,3,・・・)で定まる数列{an}の収束について調べたい．以下の問いに答えなさい．
(1)方程式x=log(x+e)はx＞0の範囲でただ1つの実数解βをもつことを証明しなさい．
(2)すべての自然数nについて0≦an＜βが成り立つことを証明しなさい．
(3)0＜a＜bのときlogb-loga＜\frac{b-a}{a}が成り立つことを証明しなさい．
(4)すべての自然数nについてβ-a_{n+1}＜1/e(β-an)が成り立つこと・・・

　私立 獨協医科大学 2014年 第4問

行列A=r(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})で表される1次変換fについて考える．点P0の座標を(1,0)とし，nを正の整数とするとき，fによって点P_{n-1}が移される点をPnとする．また，Σ_{k=0}^{n-1}\overrightarrow{OPk}=\overrightarrow{OQn}となる点Qnの座標を(xn,yn)とし，n→∞のときにxn,ynがともに収束する場合の点Qnの極限値\・・・

　公立 広島市立大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の関数の導関数を求めよ．
(i)y=\frac{x}{1+x+x2}
(ii)y=(x2+2x)e^{-x}
(2)次の不定積分を求めよ．
(i)∫x2logxdx
(ii)∫\frac{cosx}{cos2x+2sinx-2}dx
(3)x＞0とする．無限等比級数
1+logx+(logx)2+・・・+(logx)n+・・・
が収・・・

　国立 宇都宮大学 2012年 第6問

関数y=e^{-x}のグラフをCとする．C上の点P(t,e^{-t})における接線とx軸との交点をQ(u,0)とする．C上の点(u,e^{-u})をRとするとき，次の問いに答えよ．
(1)uをtの式で表せ．
(2)線分PQ，線分QRとCで囲まれた部分を図形Aとする．図形Aをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vをtの式で表せ．
(3)(1)のuをtの関数とみてu(t)と表す．数列{tn}をt1=0,t_{n+1}=u(tn)(n=1,2,・・・)と定義するとき，一般項tnを求めよ．
(4)(2)のVをtの関数とみてV(t)・・・