「収束」について

　国立 滋賀医科大学 2012年 第2問

pを定数とする．初項a1=1の数列{an}(n=1,2,3,・・・)を次のように定める．
a_{n+1}-\frac{an}{2}　は整数，かつ　-1/2＜a_{n+1}-p≦1/2(n=1,2,3,・・・)
(1)p=0のとき，数列{an}の極限\lim_{n→∞}anを求めよ．
(2)p=1のとき，bn=a_{2n}(n=1,2,3,・・・)で定まる数列{bn}の極限\lim_{n→∞}bnを求めよ．
(3)p=1のとき，数列{an}は収束するかどうか，理由を付けて答えよ．

　国立 福岡教育大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)無限級数
1+\frac{1}{1+ex}+\frac{1}{(1+ex)2}+・・・+\frac{1}{(1+ex)n}+・・・
はすべての実数xについて収束することを示し，その和を求めよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(2)(1)で求めた無限級数の和をf(x)とする．方程式logf(x)=xを解け．ただし，対数は自然対数とする．

　国立 山梨大学 2012年 第1問

次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．
(1)関数f(x)がpを周期とする周期関数であるとは，すべてのxで等式[]が成立することである．関数g(x)=sin2(5x+π/3)の正の最小の周期は[]である．
(2)実数xが-π＜x≦πのとき，無限級数Σ_{k=1}^∞sinkxが収束する条件は，xの値が[]以外のときであり，収束するときの無限級数の和は[]である．
(3)∫_{-10}0\frac{1}{・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)1枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う．このゲームを，表がちょうど4回出たところ，または，裏がちょうど4回出たところで終了することにする．ただし，硬貨を投げたとき，表が出る確率と裏が出る確率はいずれも1/2である．
(i)硬貨をk回投げたところで終了する確率をpkとすると，
p4=\frac{[ア]}{[イ]},p5=\frac{[ウ]}{[エ]},p7=\frac{[オ]}{[カ][キ]}
である・・・

　公立 首都大学東京 2012年 第1問

eは自然対数の底とする．f(x)=xlogx（x＞0,logxはxの自然対数）とおく．t＞eとするとき，以下の問いに答えなさい．
(1)曲線y=f(x)上の点Aにおける接線の傾きがlogtとなるとき，Aのx座標a(t)を求めなさい．
(2)x≧1の範囲において，曲線y=f(x)とx軸および直線x=a(t)で囲まれた部分の面積S(t)を求めなさい．
(3)t→∞のとき，\frac{S(t)}{tplogt}が0でない値に収束するような正の定数pの値を求めなさい．また，そのときの\di・・・

　国立 大阪大学 2011年 第5問

正数rに対して，a1=0,a2=rとおき，数列{an}を次の漸化式で定める．
a_{n+1}=an+rn(an-a_{n-1})(n=2,3,4,・・・)
ただしanとa_{n-1}から漸化式を用いてa_{n+1}を決める際には硬貨を投げ，表がでたときrn=r/2，裏がでたときrn=1/2rとする．ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする．anの期待値をpnとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)p3およびp4を，rを用いて表せ．
(2)n≧3のときにpnを・・・

　国立 奈良教育大学 2011年 第1問

以下の設問に答えよ．
(1)初項a，公比rの無限等比級数は|r|＜1のとき収束し，その和が\frac{a}{1-r}となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点(1,1)からx軸の負の向きに1だけ進み，次にy軸の負の向きに1/3だけ進み，次にx軸の負の向きに\frac{1}{32}だけ進み，次にy軸の負の向きに\frac{1}{33}だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．

　国立 滋賀医科大学 2011年 第3問

文字x,y,zの任意の整式Aに対して，x,y,zをそれぞれsinθ,cosθ,tanθに置き換えて得られるθの関数を\widetilde{A}(θ)で表す．例えば，
\begin{array}{lll}
P=x5+z4-xyz&　ならば　&\widetilde{P}(θ)=sin5θ+tan4θ-sinθcosθtanθ,\\
P=x2+y2,Q=1&　ならば　&\widetilde{P}(θ)=sin2θ+cos2θ=1=\widetilde{Q}(θ)
\end{array}
である．ただしθの関数の定義域は0≦・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2011年 第1問

三角形A0B0Cは辺A0B0の長さがa，∠A0=60°，∠B0=90°の直角三角形であり，三角形{A0}´{B0}´C´は辺{A0}´{B0}´の長さがa，∠{A0}´=45°，∠{B0}´=90°の直角三角形である．右図に示すように三角形A0B0Cの3つの辺上にそれぞれ点D1，A1，B1をとり，正方形B0D1・・・

　私立 久留米大学 2011年 第4問

整数kに対して，曲線y=4e^{-x}とx軸，および直線x=kとx=k+1とで囲まれた図形の面積をSkとする．同じく，この図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積をVkとする．このとき，Sk=[7]，Vk=[8]であり，無限級数Σ_{n=1}^∞Snは[9]に，Σ_{n=1}^∞Vnは[10]に収束する．