「収束」について

　国立 金沢大学 2010年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
0&-r\\
-r&0
\end{array})(r＞0)と座標平面上の点P0(-1,2)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，・・・，Pn(xn,yn)，・・・は，式
(\begin{array}{c}
xn\\
yn
\end{array})=An(\begin{array}{c}
-1\\
2
\end{array})(n=1,2,3,・・・)
を満たすものとする．次の問いに答えよ．
(1)A^{2k},A^{2k+1}(k=1,2,3,・・・)を求めよ．
(2)xn,yn(n=1,2,3,・・・)を求めよ．・・・

　国立 名古屋工業大学 2010年 第2問

定数a，関数f(x)，および数列{xn}を次のように定める．
\begin{eqnarray}
&&1＜a＜2,f(x)=1/2(3x2-x3)\nonumber\\
&&x1=a,x_{n+1}=f(xn)(n=1,2,3,・・・)\nonumber
\end{eqnarray}
(1)関数f(x)の増減を調べよ．
(2)すべての自然数nに対して1＜xn＜2を示せ．
(3)すべての自然数nに対してx_{n+1}＞xnを示せ．
(4)次の不等式を満たすnに無関係な定数b(0＜b＜1)があることを示せ．
2-x_{n+1}≦b(2-xn)(n=1,2,3,・・・)
(5)・・・

　国立 長崎大学 2010年 第5問

a,bをa＞b＞0を満たす定数とし，
{
\begin{array}{l}
a1=a,a_{n+1}=an2+bn2(n=1,2,3,・・・)\\
b1=b,b_{n+1}=2anbn(n=1,2,3,・・・)
\end{array}
.
で定義される数列{an},{bn}を考える．次の問いに答えよ．
(1)数列{cn}をcn=an+bn(n=1,2,3,・・・)により定義するとき，その一般項cnをa,bを用いて表せ．
(2)数列{an},{bn}の一般項an,bnをa,bを用いて表せ．
(3)極限値\lim_{n・・・

　国立 鳥取大学 2010年 第4問

a,kは定数であり，0＜k＜1とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式x=a+ksinxはただ一つの実数解をもつことを示せ．
(2)不等式|sinθ|≦|θ|がすべての実数θに対して成立することを示せ．
(3)不等式|sinα-sinβ|≦|α-β|がすべての実数α,βに対して成立することを示せ．
(4)数列{xn}を，x0=0,xn=a+ksinx_{n-1}(n=1,2,・・・)によって定める．数列{xn}は(1)の方程式x=a+ksinxの解に収束することを示せ．
\e・・・

　国立 山口大学 2010年 第2問

次の初項と漸化式で定まる数列{an}を考える．
a1=1/2,a_{n+1}=e^{-an}(n=1,2,3,・・・)
ここで，eは自然対数の底で，1＜e＜3である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数nについて1/3＜an＜1が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式x=e^{-x}はただ1つの実数解をもつことと，その解は1/3と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数f(x)=e^{-x}に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つこと・・・

　国立 茨城大学 2010年 第2問

pを0＜p＜1を満たす有理数の定数とし，関数f(x)をf(x)=|x|pと定める．以下の各問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)の概形を描け．
(2)aを0でない実数の定数とするとき，点(a,f(a))における曲線y=f(x)の接線の方程式を求めよ．また，接線とx軸の交点のx座標を求めよ．
(3)数列{an}を次のように定める：a1=1とし，n≧2のときanを点(a_{n-1},f(a_{n-1}))における曲線y=f(x)の接線とx軸との交点のx座標とする．このとき一般項anをnとpを用いて表せ．
(4)(3)で求め・・・

　国立 東京農工大学 2010年 第2問

a,bを実数とする．行列
A=(\begin{array}{cc}
-5&-3\
6&4
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&-2
\end{array}),P=(\begin{array}{cc}
-1&-1\
a&b
\end{array})
について次の問いに答えよ．
(1)AP=PBを満たすように実数a,bを定めよ．
(2)正の整数nについてAnを求めよ．
(3)Anの成分のうち最大のものをanとする．anを求めよ．
(4)Sn=Σ_{k=1}n(a_{2k-1}+2a_{2k})rkとおく．・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第3問

関数列
fn(x)=x^{n-1},gn(x)=Σ_{k=1}n(-1)^{k-1}fk(x)(n=1,2,・・・)
について，次の各問に答えよ．
(1)Fn(x)=∫0xfn(t)dtを求めよ．
(2){gn(x)}が数列として収束するための実数xの条件を求めよ．また，xがこの条件を満たすときg(x)=\lim_{n→∞}gn(x)とおく．
∫0xg(t)dt
を求めよ．
(3)(1)のFn(x)について
-F_{n+1}(1)≦∫01\frac{(-1)nf_{n+1}(t)}{1+t}dt≦F_{n+1}(1)・・・