「各問い」について

　公立 横浜市立大学 2014年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)関数tanxの導関数を求めよ．
(2)不定積分∫tanxdxを求めよ．
(3)X=cos(x/2-π/4)とおくとき，1+sinxをXを用いて表せ．
(4)不定積分∫\frac{dx}{1+sinx}を求めよ．
(5)定積分∫0^{π/2}\frac{x}{1+sinx}dxの値を求めよ．

　公立 横浜市立大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)次の各問いに答えよ．
\mon[（ア）]8/9＜q/p＜9/10をみたす自然数p,qにおけるpの最小値を記せ．
\mon[（イ）]\frac{2013}{2014}＜q/p＜\frac{2014}{2015}をみたす自然数p,qにおけるpの最小値を記せ．
(2)自然数a,b,c,dがad-bc=1をみたすとき，次の各問いに答えよ．
\mon[（ア）]自然数p,qがdq-cp＞0，ap-bq＞0をみたすとき，pの・・・

　国立 東京医科歯科大学 2013年 第1問

以下の各問いに答えよ．
(1)実数α,βが0＜α＜π/2,0＜β＜π/2,tanαtanβ=1を満たすとき，α+βの値を求めよ．
(2)実数α,β,γが0＜α＜π/2,0＜β＜π/2,0＜γ＜π/2,α+β+γ=π/2を満たすとき，
tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα
の値は一定であることを示せ．
(3)実数α,β,・・・

　国立 東京医科歯科大学 2013年 第2問

2次正方行列(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})のうち，次の3条件(i),(ii),(iii)を満たすもの全体の集合をMとする．
(i)a,b,c,dはすべて整数
(ii)b+c=0
(iii)a-b-d=0
またEを2次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)行列A,BがともにMの要素であるとき，それらの積ABもMの要素であることを示せ．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b・・・

　国立 東京医科歯科大学 2013年 第3問

m,nを自然数として，関数f(x)=xm(1-x)nを考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)0≦x≦1におけるf(x)の最大値をm,nを用いて表せ．
(2)定積分∫01f(x)dxをm,nを用いて表せ．
(3)a,b,cを実数として，関数g(x)=ax2+bx+cの0≦x≦1における最大値をM(a,b,c)とする．次の2条件(i),(ii)が成立するとき，M(a,b,c)の最小値をm,nを用いて表せ．
(i)g(0)=g(1)=0
\mon[\to・・・

　国立 鹿児島大学 2013年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)四角形ABCDにおいて，線分ACと線分BDの交点をPとし，∠DAC=∠CBD，AC=8，AP=2，PD=4とする．このときBDの長さを求めよ．
(2)平面上で2つの円を考える．共通接線がちょうど3本引けるような2つの円の位置関係の例を図示せよ．また，3本の共通接線も描け．
(3)3個のさいころを同時に投げるとき，3個の目の積が3の倍数である確率を求めよ．
(4)a,bを実数とする．命題「ab=0ならば・・・

　国立 鹿児島大学 2013年 第2問

次の各問いに答えよ．
(1)次の(i),(ii)に答えよ．
(i)m,nが自然数ならば，m/n≠√2である．このことを証明せよ．
(ii)p,qが自然数ならば，√2はp/qと2q/pの間にある．すなわち，p/q＜√2＜2q/pまたは2q/p＜√2＜p/qが成り立つ．このことを証明せよ．
(2)定数・・・

　国立 鹿児島大学 2013年 第3問

次の各問いに答えよ．
(1)三角形ABCの垂心をHとする．次の等式が成り立つことを示せ．
ベクトルHA・ベクトルHB=ベクトルHB・ベクトルHC=ベクトルHC・ベクトルHA
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした3本の垂線は1点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の(i),(ii)に答えよ．
(i)自然数nに対して自然数anを次のように定義する．
an=(2n-1)・(2n-3)・・・・・3・1・・・

　国立 鹿児島大学 2013年 第4問

次の各問いに答えよ．
(1)∫_{-π}^πxsinxdxを求めよ．
(2)∫_{-π}^πsin2xsin3xdxを求めよ．
(3)m,nを自然数とする．∫_{-π}^πsinmxsinnxdxを求めよ．
(4)∫_{-π}^π(Σ_{k=1}^{2013}sinkx)2dxを求めよ．

　国立 鹿児島大学 2013年 第5問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して，\Delta(A)=ad-bcとおく．たとえば単位行列E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})に対しては\Delta(E)=1×1-0×0=1となる．またK=(\begin{array}{cc}
2&3\
5&7
\end{array})に対しては\Delta(K)=2×7-3×5=-1となる．次の各問いに答えよ．
(1)P=(\begin{array}{cc}
0&1\
2&3
\end{array}),Q=(\begin{・・・