「各問い」について

　国立 鹿児島大学 2012年 第5問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
1&-2\\
1&4
\end{array}\biggr)と自然数nについて，次の各問いに答えよ．
(1)次の等式を満たすα,β,p,qを求めよ．ただし，α＜βとする．
A\biggl(\begin{array}{c}
p\\
1
\end{array}\biggr)=α\biggl(\begin{array}{c}
p\\
1
\end{array}\biggr),A\biggl(\begin{array}{c}
q\\
1
\end{array}\biggr)=β\biggl(\begin{array}{c}
q\\
1
\end{array}\biggr)
(2)(1)で求めたpに対してAn\biggl(\begin{a・・・

　国立 鹿児島大学 2012年 第6問

極方程式r=\frac{a}{2+cosθ}で与えられる2次曲線がある．ただし，aは正の定数とする．このとき次の各問いに答えよ．
(1)この2次曲線を直交座標(x,y)に関する方程式で表せ．
(2)(1)で求めた2次曲線をx軸方向にa/3だけ平行移動した2次曲線をCで表す．Cを直交座標x,yの方程式で表せ．また，この2次曲線Cはx軸と2点AとBで交わる．この2点A，Bの座標を求めよ．ただし，Bのx座標は正とする．
(3)(2)で求めた2次曲線C上のx軸上にない点P(α,・・・

　国立 鹿児島大学 2012年 第7問

1個買うごとに景品を1個もらえる商品がある．景品は全部でn種類あり，それぞれ1からnまでの番号がつけてある．また，1からnまでの数字が1つずつ記入されたn枚のカードがある．n枚のカードは外から数字が見えない箱の中に入れてあり，購入した商品1個ごとに箱の中から1枚引いて数字を確認して景品と交換する．引いたカードは，そのつど箱に戻すものとする．もらえる景品の番号は，引いたカードの数字と同じ番号のものとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)この商品をm個購入したとき，番号1の景品が少なく・・・

　国立 鹿児島大学 2012年 第8問

確率変数Zが標準正規分布N(0,1)に従うとき，
P(Z＞1.96)=0.025,P(Z＞2.58)=0.005,\frac{2.58}{1.96}\fallingdotseq1.32
であるとして，次の各問いに答えよ．
(1)確率変数Xのとる値xの範囲が-1≦x≦1で，その確率密度関数がf(x)=k(1-x2)で与えられている．このとき，定数kの値とXの平均を求めよ．
(2)母平均m，母標準偏差10の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}とする．標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせると・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)3つの行列の積
(
xy
)(\begin{array}{cc}
2&a\\
a&1
\end{array}
)
(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
)
の成分が任意の実数x,yに対し0以上となるような実数aの範囲を不等式で表すと[ア]となる．
(2)∠Bが直角の直角三角形ABCの2辺AB,BCの長さをそれぞれ3,1とする．また，0＜x＜1を満たすxに対し線分BCを1:xに外分する点をDとする．いま，∠　CAD　=2∠　BAC　が成り立っているとす・・・

　私立 上智大学 2012年 第1問

次の各問いに答えなさい．
(1)関数
f(x)=2√3sin2x/2-sinx+a(0≦x≦π)
の最小値が√3であるとする．このとき，a=[ア]であり，f(x)が最小となるのはx=\frac{π}{[イ]}のときである．
(2)nを5以上の自然数とする．1以上n以下の自然数から互いに隣り合わない2つを選ぶ組合せは
\frac{1}{[ウ]}(n-[エ])(n-[オ])
通りあり，どの2つも隣り合わない3つを選ぶ組合せ・・・

　私立 上智大学 2012年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)0≦x≦πにおいて
y=sinx+2cos(x-π/6)
の最大値は\sqrt{[ア]}であり，最小値は-\sqrt{[イ]}である．
(2)xy=4x-y+28を満たす正の整数x,yの組(x,y)は全部で[ウ]組ある．
(3)放物線y=1/2x2は，x軸方向に[エ]，y軸方向に\frac{[オ]}{[カ]}だけ平行移動すると，直線y=-xと直線y=3xの両方に接する．
(4)実数x,yがx2+xy+2y2=1・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

nを2以上9以下の自然数とする．1からnまでの数字が書いてあるn枚のカードを入れた袋から，カードを順に2枚引いて，引いた順に右から並べて2桁の数を作り，それらのカードを袋に戻す試行を考える．次の各問いに答えよ．
(1)n=9のとき，この試行によって得られた2桁の数が3の倍数である確率は\frac{[ア]}{[イ]}である．
(2)この試行を2回繰り返すとき，1回目の数が2回目の数以上となる確率をP(n)とする．このとき，P(5)=\frac{[ウエ]}{\kakk・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第4問

Oを原点とする座標空間の4点A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,2)，D(1,1,-2)について，次の各問いに答えよ．また，0＜m＜1とする．
(1)ABをm:(1-m)に内分する点をPmとし，OPmをm:1に内分する点をQmとする．このとき，Q_{1/5}の座標は，(\frac{[ラ]}{[リ][ル]},\frac{[レ]}{[ロ][ワ]},[ヲ])である．
(2)OCをm:・・・

　私立 中央大学 2012年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)次の式を展開せよ．
(x+1)(x-1)(2x+3)(3x-1)
(2)mは自然数である．xについての2次方程式
x2-2mx+6m-8=0
が，実数解を持たないとき，mの値を求めよ．
(3)0°≦θ≦360°において，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
y=2sin2θ+cosθ-2
(4)次の定積分の値を求めよ．
∫12(3x2+4x+2)dx
(5)大小2つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれa,bとするとき，|a-b|≧3となる確率を求めよ．
・・・