「各問」について

　国立 宮崎大学 2013年 第2問

次の各問に答えよ．
(1)方程式2・8x-3・4^{x+1}+5・2^{x+1}+24=0を満たすような実数xをすべて求めよ．
(2)数列{an}が，a1=sin2θ,a_{n+1}=4an(1-an)(n=1,2,3,・・・)で定められているとき，次の(i),(ii)に答えよ．
(i)a2とa3を，θを用いて表せ．
(ii)anがθとnを用いてどのように表されるのか予想し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
\end・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第3問

平面上に，1辺の長さが1の正三角形ABCをとり，ベクトルa=ベクトルCA，ベクトルb=ベクトルCBとおく．また，直線AC，BC上にそれぞれ点P，QをベクトルCP=1/2ベクトルa，ベクトルCQ=2ベクトルbであるようにとる．線分PQの中点をRとし，直線AB上に点DをDR⊥PQであるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．
(1)ベクトルCRを，ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルDRを，・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第4問

最初に袋の中に，赤球と白球が3個ずつ，合計6個入っている．この状態から次の①～③の一連の操作を行う．
\mon[①]袋の中から無作為に3個の球を取り出す．
\mon[②]①で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[③]①,②の操作をもう一度繰り返す．
ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．①～③の操作の後に，袋の・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第5問

座標平面上に，半円C:x2+y2=4（ただし，x＞0）と放物線D:x2-6y+3=0がある．半円C上の点P(2cosθ,2sinθ)（ただし，-π/2＜θ＜π/2）における半円Cの接線をℓとするとき，次の各問に答えよ．
(1)半円Cと放物線Dとの交点Qの座標を求めよ．
(2)直線ℓが放物線Dに点Rにおいて接するとき，θの値と点Rの座標を求めよ．
(3)(2)のとき，半円Cと放物線Dおよび直線ℓによって囲まれる部分の面・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第2問

0＜r＜1を満たす実数rについて，座標平面上に，2点P1(1,0)とP2(1,r)がある．これらから点P_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})(n=2,3,4,・・・)を次の規則に従って定める．
点P_{n-1}から点Pnに向かう方向を時計の針の回転と逆の向きに{90}°回転し，その方向に点Pnから距離rnだけ進んだ点をP_{n+1}とする．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)点P4,P8の座標を，rを用いて表せ・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第3問

次の各問に答えよ．
(1)方程式2・8x-3・4^{x+1}+5・2^{x+1}+24=0を満たすような実数xをすべて求めよ．
(2)実数θに対し，関数f(θ)とg(θ)を，
f(θ)=(cosθ)(cos2θ)(cos3θ),g(θ)=(sinθ)(sin2θ)(sin3θ)
とおくとき，次の(i),(ii)に答えよ．
(i)関数f(θ),g(θ)は，それぞれ
\begin{array}{l}
f(θ)=p+qcos2θ+rcos4θ+scos・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第4問

-1＜x＜1で定義される関数f(x)=2x+\sqrt{5-5x2}について，座標平面上の曲線C:y=f(x)を考える．このとき，次の各問に答えよ．
(1)曲線Cは上に凸であることを示し，f(x)の最大値を求めよ．
(2)曲線C上の点のうち，原点Oとの距離が最大となる点をA，最小となる点をBとするとき，A，Bの座標をそれぞれ求めよ．
(3)(2)で求めた点A，Bについて，線分OA，線分OB，および曲線Cで囲まれる部分の面積を求めよ．

　国立 宮崎大学 2013年 第5問

最初，数直線上の原点に点Pを置き，コインを1回投げるごとに以下のように点Pの位置を定める．
\mon[①]点Pの座標が-2以上3以下のとき，コインの表が出れば正の向きに1だけ点Pを進め，裏が出れば負の向きに1だけ点Pを進める．
\mon[②]点Pの座標が-3または4のとき，コインの表裏にかかわらず点Pを動かさない．
コインを投げて①,②に従い点Pの位置を定める操作を6回行う．この6回の操・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第5問

右図のような四角形ABCDについて，すべての内角の大きさは180°\\
未満とする．△BCDの重心をP，△CDAの重心をQ，△DABの重\\
心をR，△ABCの重心をSとする．ただし，点Pと点Rは直線AC\\
上になく，点Qと点Sは直線BD上にないものとする．このとき，\\
次の各問に答えよ．
\img{735303920131}{37}

(1)AC\paraRPを示・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第1問

座標平面上に，半円C:x2+y2=4（ただし，x＞0）と放物線D:x2-6y+3=0がある．半円C上の点P(2cosθ,2sinθ)（ただし，-π/2＜θ＜π/2）における半円Cの接線をℓとするとき，次の各問に答えよ．
(1)半円Cと放物線Dとの交点Qの座標を求めよ．
(2)直線ℓが放物線Dに点Rにおいて接するとき，θの値と点Rの座標を求めよ．
(3)(2)のとき，半円Cと放物線Dおよび直線ℓによって囲まれる部分の面・・・