「各問」について

　国立 宮崎大学 2012年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=\frac{1-x2}{1+x2}
(3)y=sin3(2x+1)
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫12\frac{x-1}{x2-2x+2}dx
\mon∫01\frac{e^{4x}}{e^{2x}+2}dx
\mon∫1exlog√xdx
\mon∫0^{π/3}(cos2xsin3x-1/4sin5x・・・

　国立 宮崎大学 2012年 第3問

四面体OABCにおいて，
　OA　=　OC　=4,　OB　=3,∠　AOB　=∠　BOC　=∠　COA　=60°
とする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積ベクトルAB・ベクトルACの値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．ベクトルOD=ベクトルOA+pベクトルAB+qベクトルACとおくとき，pとqの値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．

　国立 宮崎大学 2012年 第4問

関数f(x)=\frac{1}{1+x2}について，次の各問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)上の点P(√3,1/4)における接線ℓの方程式を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と接線ℓとの共有点のうち，点Pと異なる点Qのx座標を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と接線ℓによって囲まれる部分の面積を求めよ．

　国立 宮崎大学 2012年 第5問

5人の生徒が袋を1つずつ持っている．どの生徒の袋の中にも，赤球，青球，白球がそれぞれ1個ずつ計3個入っている．\\
5人同時に各自の袋の中から1個の球を取り出したとき，取り出した球の色が他の4人の取り出した球の色と異なっている人の数をkとする．ただし，どの色の球も同じ確率で取り出されるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)赤球，青球，白球を取り出した人が，それぞれ1人，1人，3人である確率を求めよ．
(2)k=2である確率を求めよ．
(3)k=1である確率を求めよ．
(4)kの期待値を求めよ．
・・・

　国立 宮崎大学 2012年 第2問

四面体OABCにおいて，
　OA　=　OC　=4,　OB　=3,∠　AOB　=∠　BOC　=∠　COA　=60°
とする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積ベクトルAB・ベクトルACの値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．ベクトルOD=ベクトルOA+pベクトルAB+qベクトルACとおくとき，pとqの値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．

　国立 宮崎大学 2012年 第3問

関数f(x)=\frac{1}{1+x2}について，次の各問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)上の点P(√3,1/4)における接線ℓの方程式を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と接線ℓとの共有点のうち，点Pと異なる点Qのx座標を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と接線ℓによって囲まれる部分の面積を求めよ．

　国立 宮崎大学 2012年 第4問

nを自然数とする．1つの袋に白球がn個と赤球が2個，合わせてn+2個の球が入っている．この袋から，n+1個の球を1個ずつ取り出し，左から1列に順に並べる．このとき，次の各問に答えよ．
(1)並べた列に赤球が2個入っている確率を，nを用いて表せ．
(2)2個の赤球の間にある白球の個数をkとする．ただし，並べた列に赤球が2個入っていない場合は，k=0とする．このとき，kの期待値が1以上となる最小のnの値を求めよ．

　国立 宮崎大学 2012年 第1問

5人の生徒が袋を1つずつ持っている．どの生徒の袋の中にも，赤球，青球，白球がそれぞれ1個ずつ計3個入っている．\\
5人同時に各自の袋の中から1個の球を取り出したとき，取り出した球の色が他の4人の取り出した球の色と異なっている人の数をkとする．ただし，どの色の球も同じ確率で取り出されるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)赤球，青球，白球を取り出した人が，それぞれ1人，1人，3人である確率を求めよ．
(2)k=2である確率を求めよ．
(3)k=1である確率を求めよ．
(4)kの期待値を求めよ．
・・・

　国立 宮崎大学 2012年 第2問

数列{an}が
a1=1/3,a_{n+1}=\frac{1}{3-2an}(n=1,2,3,・・・)
で定められているとき，次の各問に答えよ．
(1)a2,a3,a4の値を求めよ．
(2)一般項anを予想し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

　国立 宮崎大学 2012年 第3問

座標平面上の放物線y=x2と直線y=kx+1(k　は実数　)の2つの交点をP，Qとし，点Pのx座標をα，点Qのx座標をβ(α＜β)とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)α+βおよびαβの値を，kを用いて表せ．
(2)2点P，Qにおける放物線の接線をそれぞれℓ,mとし，その交点をRとするとき，点Rのx座標を，kを用いて表せ．
(3)放物線と(2)の2つの接線ℓ,mで囲まれる部分の面積を，kを用いて表せ．