「各問」について

　公立 高知工科大学 2012年 第3問

右図のようにAB=ACである二等辺三角形ABCにおいて，∠Aの\
二等分線と辺BCの交点をHとし，θ=∠BAH，AH=1とする．\
△ABCの内接円C1から始めて，2辺AB，ACに接し，かつ，隣り\
合う2円が互いに外接する円の列C1,C2,C3,・・・を三角形の中に\
作り，その半径をr1,r2,r3,・・・，面積をS1,S2,S3,・・・とする．\
このとき，次の各問に答えよ．
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\・・・

　公立 高知工科大学 2012年 第4問

2つの関数
\begin{eqnarray}
&&f(x)=\frac{sinx}{1+cosx}(　定義域は　-π＜x＜π)\nonumber\\
&&g(x)=∫0x\frac{2}{1+t2}dt(　定義域は実数全体　)\nonumber
\end{eqnarray}
と，これらの合成関数h(x)=g(f(x))を考える．次の各問に答えよ．
(1)f(x),g(x),h(x)のそれぞれの導関数を求めよ．
(2)h(x)を求めよ．
(3)定積分∫0^{\frac{1}{2+√3}}\frac{2}{1+t2}dtの値を求めよ．

　公立 高崎経済大学 2012年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)3次関数f(x)=ax3+bx2-6がある．f^{\prime}(1)=7,f^{\prime}(-2)=4となるように定数a,bの値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，i2=-1である．\frac{2-i}{1+2i}
(3)(2x2-1)6を展開したとき，x4の項の係数を求めよ．
(4)20本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は1等1000円が1本，2等500円が2本，3等300円が3本である．ただし，はずれくじの賞金は0円である．いま，この中から1本のくじを引くときの賞金の期待値を求め・・・

　公立 高崎経済大学 2012年 第2問

2つの放物線C1:y=x2,C2:y=-1/2x2+3x+9/2がある．C1とC2の2つの交点を通る直線をℓ1とする．以下の各問に答えよ．
(1)ℓ1の式を求めよ．
(2)C1とC2で囲まれた図形の面積をS1とし，C1とℓ1で囲まれた図形の面積をS2とする．この2つの面積の比S1:S2を求めよ．
(3)ℓ1と平行な直線ℓ2がある．C1とℓ2で囲まれた図形の面積S3が9/2であるとき，ℓ2の式を求めよ．

　公立 高崎経済大学 2012年 第3問

以下の各問に答えよ．
(1)a＞0,b＞0のとき，不等式\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}を証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)2log_{10}u+log_{10}v=1とする．u3+uv2の最小値とそのときのu,vの値を求めよ．
(3)Oを原点とするxy平面がある．この平面上に(2)で求めたu,vからなる点A(u,v)をとる．点Aを通り，直線OAと30°の角をなす直線の方程式をすべて求めよ．

　公立 釧路公立大学 2012年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)次の式を因数分解せよ．2(a+b+c)2-2a2-2b2+2c2
(2)以下の問に答えよ．
(i)関数f(x)=|x2-6x+5|のグラフをかけ．
(ii)区間0≦x≦tにおけるf(x)=|x2-6x+5|の最大値と最小値，およびそのときのxの値を求めよ．

　公立 釧路公立大学 2012年 第2問

以下の各問に答えよ．
(1)次の式の展開式におけるx3y3の項の係数を求めよ．(x-2y)6
(2)アタリくじ3枚とハズレくじ7枚が入っている箱がある．この箱からくじを3枚同時に取り出し，取り出されたアタリくじ1枚について500円を受け取るゲームがある．このゲームの参加料が何円未満であれば，このゲームに参加することが得であるといえるか求めよ．
(3)3辺がAB=12，BC=13，CA=5である△ABCの内接円と辺BC，CA，ABの接点を，それぞれ\t・・・

　公立 釧路公立大学 2012年 第3問

以下の各問に答えよ．
(1)次の不等式を解け．2log_{1/4}(4x+1)≧1+log_{1/2}(11-x)
(2)以下の問に答えよ．
(i)次の等式を満たす関数f(x)を求めよ．f(x)=x2-2x+3∫01f(t)dt
(ii)(i)で求めたf(x)に点(3/2,-2)から引いた接線の方程式と，接点の座標を求めよ．
(iii)(i)，(ii)で求めた関数f(x)と2つの接線で囲まれた図形の面・・・

　国立 京都大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)箱の中に，1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数をXとする．これらのカードを箱に戻して，再び2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数をYとする．X=Yである確率を求めよ．
(2)定積分∫_{0}^{1/2}(x+1)\sqrt{1-2x2}dxを求めよ．

　国立 京都大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)辺AB，辺BC，辺CAの長さがそれぞれ12，11，10の三角形ABCを考える．∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとするとき，線分ADの長さを求めよ．
(2)箱の中に，1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数をXとする．これらのカードを箱に戻して，再び2枚のカードを同時に選び，・・・