「各問」について

　国立 茨城大学 2011年 第4問

aを実数とする．行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&1\\
0&a
\end{array}\biggr),E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr)について，以下の各問に答えよ．
(1)行列E-Aが逆行列を持つかどうか調べよ．また，逆行列を持つ場合にはそれを求めよ．
(2)Anを求めよ(n=1,2,3,・・・)．
(3)Sn=E+A+A2+・・・+Anとおくとき，Snを求めよ(n=1,2,3,・・・)．

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=e^{√x}
(3)y=\frac{log|cosx|}{x}
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xtan(x2)dx
\mon∫0^{1/3}xe^{3x}dx
\mon∫e^{ee}\frac{1}{xlogx}dx
\mon∫23\frac{x2+1}{x(x+1)}dx
\end{en・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)次の各命題について，真であれば証明し，偽であれば反例を1つあげよ．
\mon[(A)]実数aについて，\sqrt{a2}とaは等しい．
\mon[(B)]正の実数bとcについて，\sqrt[3]{b+c}と\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}は等しくない．
\mon[(C)]実数xについて，|2x-1|=xならばx=1である．
(2)α=(√3+1)x,β=(√3-1)xとするとき，αβ=7となるようなxの値を求めよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第2問

100点と書かれたカードが4枚，10点と書かれたカードが2枚入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数をkとする．このk枚のカードの合計点をSとする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)k=1,2,3,4,5となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)Sの期待値を求めよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第3問

関数f(x)を
f(x)={
\begin{array}{l}
-x2+4x(x≦0,x≧2　のとき　)\\
x2\qquad\qquad\;\!(0＜x＜2　のとき　)
\end{array}
.
とする．座標平面上の曲線C:y=f(x)と直線ℓ:y=xで囲まれる部分の面積をSとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)曲線Cの概形をかけ．
(2)Sの値を求めよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第2問

座標平面上において，点A(0,1)を中心とし原点Oを通る円C1について，点B(0,-1)から引いた2本の接線の接点をP，Qとする．ただし，点Pのx座標は正とする．さらに，y軸に関して対称な放物線C2が直線BPと直線BQにそれぞれ点Pと点Qで接するものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)2点P，Qの座標を求めよ．
(2)放物線C2を表す方程式を求めよ．
(3)点Aから放物線C2上の各点までの距離は1以上であることを示せ．
(4)円C1の原点Oを含む弧PQと放物線C2で囲まれる部分の面積Sを求めよ．
\e・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第3問

自然数nについて，anを√n以下の整数のうち最大のものとするとき，次の各問に答えよ．
(1)a1,a2,a3,a4の値を求めよ．
(2)自然数mについて，S=a1+a2+・・・+a_{m2}を，mを用いて表せ．

　国立 宮崎大学 2011年 第4問

各辺の長さが1の正三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとおき，線分ABを1:2に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数k,lについて，ベクトルOP=kベクトルOB,ベクトルOQ=lベクトルOCを満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，kとlの関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，△APQの重心が∠AOBの二等分線上にあるとする．このとき，kとlの関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，\text・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=e^{√x}
(3)y=\frac{log|cosx|}{x}
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xtan(x2)dx
\mon∫0^{1/3}xe^{3x}dx
\mon∫e^{ee}\frac{1}{xlogx}dx
\mon∫23\frac{x2+1}{x(x+1)}dx
\end{enumer・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第2問

各辺の長さが1の正三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとおき，線分ABを1:2に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数k,lについて，ベクトルOP=kベクトルOB,ベクトルOQ=lベクトルOCを満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，kとlの関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，△APQの重心が∠AOBの二等分線上にあるとする．このとき，kとlの関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，\text・・・