「各問」について

　国立 宮崎大学 2011年 第5問

P(x)は，x5の係数が1であるような5次式とする．P(x)をx2-x-6で割ったときの商をQ(x)，Q(x)をx-2で割ったときの商をR(x)とおく．
P(-2)=-10,P(3)=5,Q(2)=Q(-2)=R(-3)=2
であるとき，次の各問に答えよ．
(1)P(x)をx2-x-6で割ったときの余りを求めよ．
(2)R(x)を求めよ．
(3)P(x)を求め，展開して降べきの順に整理せよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

自然数nについて，anを√n以下の整数のうち最大のものとするとき，次の各問に答えよ．
(1)a1,a2,a3,a4の値を求めよ．
(2)自然数mについて，S=a1+a2+・・・+a_{m2}を，mを用いて表せ．

　国立 宮崎大学 2011年 第2問

各辺の長さが1の正三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとおき，線分ABを1:2に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数k,lについて，ベクトルOP=kベクトルOB,ベクトルOQ=lベクトルOCを満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，kとlの関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，△APQの重心が∠AOBの二等分線上にあるとする．このとき，kとlの関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，\text・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第3問

100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数をkとする．このk枚のカードの合計点をSとする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)k=1,2,3,4,5となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)Sの期待値を求めよ．
\end・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第3問

100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数をkとする．このk枚のカードの合計点をSとする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)k=1,2,3,4,5となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)Sの期待値を求めよ．
\end・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第4問

座標平面上に点A(2,0)をとる．円C:x2+y2=1上の任意の点P(cosθ,sinθ)(0≦θ＜2π)における接線をℓとする．直線ℓ上に点Qを直線AQとℓが直交するようにとる．ただし，直線ℓが点Aを通るときは，点Qは点Aであるとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)点Qの座標を，θを用いて表せ．
(2)線分PQを，点Pが原点Oに一致するように平行移動したとき，点Qが移動した点をR(θ)とする．ただし，点Pと点Qが一致するときは，点R(θ)は原点とする．この・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第4問

次の各問に答えよ．
(1)方程式(√2+1)x+(√2-1)x=6について，(A)，(B)に答えよ．
\mon[(A)](√2+1)x=α,(√2-1)x=βとするとき，αβの値を求めよ．
\mon[(B)]方程式の解のうち最大のものをmとするとき，mの値を求めよ．
(2)t＞4を満たすすべてのtについて，不等式
(log2t)2-blog2t+2＞0
が成り立つbの範囲を求めよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第5問

方程式tanx=xについて，次の各問に答えよ．ただし，必要であれば，0＜x＜π/2を満たすxについて，不等式sinx＜x＜tanxが成り立つことを用いてもよい．
(1)各自然数nについて，nπ-π/2＜x＜nπ+π/2の範囲に方程式tanx=xの解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数nについて，(1)で存在が示された解をxnとする．このとき，極限値\lim_{n→∞}n(nπ+π/2-xn)を求めよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第5問

次の各問に答えよ．
(1)方程式(√2+1)x+(√2-1)x=6について，(A)，(B)に答えよ．
\mon[(A)](√2+1)x=α,(√2-1)x=βとするとき，αβの値を求めよ．
\mon[(B)]方程式の解のうち最大のものをmとするとき，mの値を求めよ．
(2)t＞0を満たすすべてのtについて，不等式
(log2t)2-blog2t+2＞0
が成り立つbの範囲を求めよ．

　国立 帯広畜産大学 2011年 第2問

次の各問に解答しなさい．
(1)円x2+y2=4と放物線y=-1/2(2+√2)x2+2との共有点の個数とすべての共有点の座標を求めなさい．
(2)連立不等式
{
\begin{array}{l}
x2+y2≦4\\
(2+√2)x2+2y≧4
\end{array}
.
の表す領域Rを図示し，領域Rの面積を求めなさい．
(3)x2+y2≦4のとき，(2+√2)x2+2yの最大値と最小値を求めなさい．