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次の各問に答えよ．
(1)放物線C:y=x2+ax+bが2直線L1:y=-4x+2，L2:y=2x-1の両方と接している．このとき，a=[アイ]，b=[ウ]であり，CとL1との接点のx座標は[エオ]，CとL2との接点のx座標は[カ]である．
(2)整数を要素とする2つの集合A={2,6,5a-a2}，B={3,4,3a-1,a+b}がある．4が共通部分A∩Bに属するとき，a=[キ]または[ク]（ただし，[キ]＜[ク]）である．さらにA∩B={4,6}であるとき，b=・・・
公立 高知工科大学 2011年 第1問実数x,yがx2+y2=x+yを満たすとき，次の各問に答えよ．
(1)座標平面上で，x2+y2=x+yの表す図形を答えよ．
(2)x+yのとりうる値の範囲を求めよ．
(3)y-x2+xのとりうる値の範囲を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第2問底面が正方形で，4個の側面がすべて合同な二等辺三角形である四角錘を考える．底面の正方形の一辺の長さをx，側面の二等辺三角形の等しい辺の長さをaとする．この四角錘の体積をVとして，次の各問に答えよ．
(1)Vをaとxで表せ．
(2)xのとりうる値の範囲をaを用いて表せ．
(3)Vの最大値をaを用いて表せ．また，そのときのxの値を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第1問aを実数の定数とする．2つの関数f(x)=x2-ax+3とg(x)=x2-(2a+1)x+a2+aについて，次の各問に答えよ．
(1)すべての実数xについて，f(x)≧0が成り立つための条件をaを用いて表せ．
(2)1≦x≦3を満たすすべての実数xについて，f(x)＞0が成り立つための条件をaを用いて表せ．
(3)g(x)≦0を満たすすべての実数xについて，f(x)＞0が成り立つための条件をaを用いて表せ．
公立 高知工科大学 2011年 第2問△ABCの頂点を通らない直線ℓが，辺AC，辺BCのB方向への延長線，および辺ABと，それぞれ点P，Q，Rで交わり，
AP : PC =α:1, CQ : QB =β:1
であるとする．ベクトルCA=ベクトルa,ベクトルCB=ベクトルbとして，次の各問に答えよ．
(1)ベクトルCRをα,β,ベクトルa,ベクトルbで表し，等式\frac{ AP }{ PC }・\frac{ CQ }{ QB }・\frac{ BR }{ RA }=1を証明せよ．
(2)△QRB・・・
公立 高知工科大学 2011年 第3問関数f(x)=\frac{2(logx)2-3logx}{x}(x＞0)について，次の各問に答えよ．ただしlogxは自然対数である．
(1)方程式f(x)=0を解け．
(2)関数f(x)の極大値と極小値を求めよ．また，そのときのxの値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第4問次の各問に答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式ex＞1+x+\frac{x2}{2}が成り立つことを証明せよ．
(2)\lim_{x→∞}xe^{-x}=0を証明せよ．
(3)関数y=xe^{-x}の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)nを自然数とする．In=∫0nxe^{-x}dxを計算し，\lim_{n→∞}Inを求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第3問0以上の整数nに対して
an=∫01e^{-x}xndx(n=0,1,2,・・・)
とおく．ここでeは自然対数の底である．次の各問に答えよ．
(1)a0とa1を求めよ．
(2)a_{n+1}とanの間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)等式
\frac{an}{n!}=1-1/e(1/0!+1/1!+1/2!+・・・+1/n!)
が成り立つことを証明せよ．
(4)次式が成り立つことを証明せよ．
\maru{1}0≦an≦a0\qquad\maru{2}\lim_{n→∞}(\f・・・
公立 高知工科大学 2011年 第4問行列A=\biggl(\begin{array}{rr}
-1&-4\\
4&7
\end{array}\biggr),E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr)に対して，N=A-kEとおく．ただし，kは実数の定数である．このとき，次の各問に答えよ．
(1)N2=Oとなるように，kの値を定めよ．ただし，Oは零行列である．
(2)nを正の整数として，Anを求めよ．
(3)数列{an},{bn}が
a1=b1=1,a_{n+1}=-an-4bn,b_{n+1}=4an+7bn
で与えられるとき，一般項an,bnをそれぞれnを用いて・・・
国立 京都大学 2010年 第1問次の各問に答えよ．
(1)座標平面上で，点(1,2)を通り傾きaの直線と放物線y=x2によって囲まれる部分の面積をS(a)とする．aが0≦a≦6の範囲を変化するとき，S(a)を最小にするようなaの値を求めよ．
(2)△ABCにおいて AB =2, AC =1とする．∠ BAC の二等分線と辺BCの交点をDとする． AD = BD となるとき，△ABCの面積を求めよ．
