「各問」について

　国立 宮崎大学 2010年 第4問

すべての辺の長さが1の四角錐がある．この四角錐の頂点をO，底面を正方形ABCDとし，ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)ベクトルODを，ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルc,ベクトルc・ベクトルaをそれぞれ求めよ．
(3)点P，O，B，Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pについて，ベクトルOPを，ベクトルa,ベクトルb,\vectit・・・

　国立 宮崎大学 2010年 第3問

すべての辺の長さが1の四角錐がある．この四角錐の頂点をO，底面を正方形ABCDとし，ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)ベクトルODを，ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルc,ベクトルc・ベクトルaをそれぞれ求めよ．
(3)点P，O，B，Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pについて，ベクトルOPを，ベクトルa,ベクトルb,\vectit・・・

　国立 宮崎大学 2010年 第3問

すべての辺の長さが1の四角錐がある．この四角錐の頂点をO，底面を正方形ABCDとし，ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)ベクトルODを，ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルc,ベクトルc・ベクトルaをそれぞれ求めよ．
(3)点P，O，B，Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pに・・・

　国立 宮崎大学 2010年 第4問

定積分
In=∫1^{√e}(logx)ndx(n=1,2,3,・・・)
について，次の各問に答えよ．
(1)I1の値を求めよ．
(2)等式
I_{n+1}=√e(1/2)^{n+1}-(n+1)In(n=1,2,3,・・・)
が成り立つことを示せ．
(3)すべての自然数nについて，等式
In=(-1)^{n-1}n!+√eΣ_{m=0}n(-1)^{n-m}n!/m!(1/2)m
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，0!=1とする．

　国立 宮崎大学 2010年 第5問

定積分
In=∫1^{√e}(logx)ndx(n=1,2,3,・・・)
について，次の各問に答えよ．
(1)I1の値を求めよ．
(2)等式
I_{n+1}=√e(1/2)^{n+1}-(n+1)In(n=1,2,3,・・・)
が成り立つことを示せ．
(3)すべての自然数nについて，等式
In=(-1)^{n-1}n!+√eΣ_{m=0}n(-1)^{n-m}n!/m!(1/2)m
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，0!=1とする．

　国立 宮崎大学 2010年 第4問

下図の△ABCにおいて，AB:AC=3:4とする．また，∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとする．さらに，
線分ADを5:3に内分する点をE，
線分EDを2:1に内分する点をF，
線分ACを7:5に内分する点をG
とする．\\
直線BEと辺ACとの交点をHとするとき，次の各問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)\frac{・・・

　国立 宮崎大学 2010年 第5問

座標平面上に2つの円
\begin{eqnarray}
&&C1:(x+1)2+(y-1)2=1\nonumber\\
&&C2:(x-1)2+(y-1)2=1\nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式y＞2が表す領域D内に点P(a,b)をとる．点Pから円C1,C2にひいた接線とx軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように△PABは円C1,C2をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)bを定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのはa=0のときであることを示せ．
(2)点Pが領域D内を動くとき，△PABの面積・・・

　国立 宮崎大学 2010年 第5問

次の各問に答えよ．
\vspace*{-6mm}
\begin{spacing}{2.2}
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=e^{sinxcosx}
(3)y=\frac{x}{\sqrt{x2+3}}
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫_{logπ}^{log(2π)}exsin(ex)dx
\mon∫01e^{2x}(x+1)dx
\mon∫0^πsinxcos(4x)dx
\mon∫_{-1}0\frac{x+1}{(x+2)(x+3)}dx
・・・

　国立 茨城大学 2010年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)nを3以上の自然数とする．整式xnをx2-4x+3で割ったときの余りを求めよ．
(2)数列
1,1+3+1,1+3+9+3+1,1+3+9+27+9+3+1,・・・
の第n項から第2n項までの和を求めよ．ただし，nは自然数とする．
(3)微分可能な関数f(x)がf(0)=0かつf´(0)=πを満たすとき，次の極限値を求めよ．
\lim_{θ→0}\frac{f(1-cos2θ)}{θ2}

　国立 茨城大学 2010年 第2問

aを0でない実数とする．
\begin{align}
&C1:y=x2+(a+1)x-a(2a+1)\nonumber\\
&C2:y=-x2+(3a+1)x+a(2a-1)\nonumber
\end{align}
で表される曲線C1と曲線C2について，以下の各問に答えよ．
(1)C1とC2が異なる2交点をもつことを示せ．
(2)C1とC2の2交点を通る直線ℓ(a)の方程式を求めよ．また，ℓ(a)がaの値に関係なく必ず通る定点Pの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた定点PがC1とC2の2交点を結んだ線分上にあるようなaの値の範囲を求めよ．・・・