「各問」について

　国立 茨城大学 2010年 第3問

点Oを原点とする座標平面上に2点A(1,1)，B(1,-1)がある．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)実数s,tによって，ベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOBで定められる点Pを考える．s,tがs+2t≦2，s≧0，t≧0を満たしながら動くとき，点Pの存在する範囲を求めよ．さらに，その範囲が表す図形を図示せよ．
(2)実数uによって，ベクトルOQ=(1-u)ベクトルQA+2uベクトルQBで定められる点Qを考える．uが0≦u≦1を満たしながら動く・・・

　国立 茨城大学 2010年 第4問

曲線C:y=(x-3)√x(x＞0)の法線を考える．ただし，曲線C上の点Pにおける法線とは，点Pを通り，この曲線上の点Pにおける接線に垂直に交わる直線のことである．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)関数y=(x-3)√x(x＞0)の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)曲線C上の点(t,(t-3)√t)における法線の方程式を求めよ．
(3)aを正の定数とするとき，点(a,0)を通る法線の本数を調べよ．

　国立 茨城大学 2010年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)平行四辺形ABCDの辺BCを1:2に内分する点をE，直線AEと対角線BDとの交点をF，直線AEと直線CDとの交点をGとする．ベクトルABをベクトルaで，ベクトルADをベクトルbで表すとき，3つのベクトルベクトルAE,ベクトルAF,ベクトルAGをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(2)関数g(x)を次式で定める．
g(x)=1/π∫_{-π/2}^{π/2}{xcost+(1-x)sint}2d・・・

　国立 茨城大学 2010年 第2問

pを0＜p＜1を満たす有理数の定数とし，関数f(x)をf(x)=|x|pと定める．以下の各問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)の概形を描け．
(2)aを0でない実数の定数とするとき，点(a,f(a))における曲線y=f(x)の接線の方程式を求めよ．また，接線とx軸の交点のx座標を求めよ．
(3)数列{an}を次のように定める：a1=1とし，n≧2のときanを点(a_{n-1},f(a_{n-1}))における曲線y=f(x)の接線とx軸との交点のx座標とする．このとき一般項anをnとpを用いて表せ．
(4)(3)で求め・・・

　国立 茨城大学 2010年 第3問

△ABCにおいて∠A,∠B,∠Cの大きさと対辺の長さをそれぞれA,B,Cおよびa,b,cで表す．△ABCの面積をSとし，3頂点を通る円の半径をRとする．a≧b≧cとするとき以下の各問に答えよ．
(1)sinA≧sinB≧sinCを示せ．
(2)S=2R2sinAsinBsinCを示せ．
(3)\frac{a2}{S},\frac{b2}{S},\frac{c2}{S}のそれぞれを\frac{cosA}{sinA},\frac{cosB}・・・

　国立 茨城大学 2010年 第1問

△ABCにおいて∠　A　,∠　B　,∠　C　の大きさと対辺の長さをそれぞれA,B,Cおよびa,b,cで表す．△ABCの面積をSとするとき，以下の各問に答えよ．
(1)\frac{sinA}{sinBsinC}=\frac{cosB}{sinB}+\frac{cosC}{sinC}を示せ．
(2)sinA,sinB,sinC,\frac{sinA}{sinBsinC}をa,b,c,Sで表せ．
(3)a≧b≧cならば，\frac{cosA}{sinA}≦\frac{cos・・・

　国立 茨城大学 2010年 第2問

f(x)=9x-2・3^{x+1}-7とするとき，次の各問に答えよ．
(1)f(x)≦0となる実数xの範囲を求めよ．
(2)(x2-4)f(x)≦0となる実数xの範囲を求めよ．

　国立 茨城大学 2010年 第3問

a,bを正の実数とする．放物線C1:y=x2-aと放物線C2:y=-b(x-2)2は，共に，点P(x0,y0)において直線ℓに接しているとする．S1を直線x=0と放物線C1と接線ℓで囲まれた領域の面積とし，S2を直線x=2と放物線C2と接線ℓで囲まれた領域の面積とするとき，次の各問に答えよ．
(1)a,x0,y0をbで表せ．
(2)面積の比S1:S2をbで表せ．

　国立 茨城大学 2010年 第4問

自然数m,nに対して，m=qn+r,0≦r＜nとなる整数qとrをそれぞれmをnで割ったときの商と余りという．ここではmをnで割ったときの余りrをm@nで表すことにする．a,b,cを自然数とするとき，次の各問に答えよ．
(1)12@3,22@3,32@3を求め，a＞3に対してa2@3を求めよ．
(2)(a+b)@c={(a@c)+(b@c)}@cとなることを示せ．
(3)a2+b2=c2のときa,bの少なくともひとつは3の倍数であることを示せ．

　私立 早稲田大学 2010年 第1問

数字k(k=1,2,3,4,5)が記入されたカードがそれぞれk枚あり，さらに，数字0が記入されたカードが1枚，合計16枚のカードがある．この中から2枚のカードを同時に取り出し，2枚のカードの数が同じ場合は1点，異なる場合は大きい方の数の点を得る．ただし，0を含む場合は大きい方の数の2倍の点を得る．このとき，次の各問に答えよ．
(1)得点が1点となる場合は何通りあるか．
(2)得点が4点以上となる確率を求めよ．
(3)得点が偶数となる確率を求めよ．