「各問」について

　公立 高崎経済大学 2010年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)7x=49^{1-x}を解け．
(2)x=\frac{√5-3}{2}のとき，x4+x2の値を求めよ．
(3)次の定積分を求めよ．
∫_{-2}0(2x2-x)dx-∫10(2x2-x)dx
(4)関数y=(2x-1)(x2+2x-1)を微分せよ．
(5)3log_{1/2}3,2log_{1/2}5,5/2log_{1/2}4の3数の大小を比較せよ．
\monベクトルa=(1,-1),ベクトルb=(-4,-3)のとき，2ベクトルa+2ベクトルbの大きさを求めよ．
\mon初項か・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第1問

Oを原点とする座標平面上に点A(7,0)，B(4,4)がある．次の各問に答えよ．
(1)△OABの外接円の半径を求めよ．
(2)△OABの外接円の中心の座標を求めよ．
(3)△OABの内接円の半径を求めよ．
(4)△OABの内接円の中心の座標を求めよ．

　公立 高知工科大学 2010年 第2問

座標平面上に円C:x2+y2-8x+2y+7=0と点A(0,1)がある．円Cの中心をB，半径をrとする．また点Aを通り，傾きmの直線をℓとする．次の各問に答えよ．
(1)点Bの座標とrを求めよ．
(2)直線ℓが円Cと共有点を持つとき，mの取り得る値の範囲を求めよ．
(3)点Bを通り，傾き3の直線と直線ℓとの交点をPとする．点Pが円Cの円周または内部に含まれるとき，mの取り得る値の範囲を求めよ．
(4)(3)のとき，線分APの両端を除いた部分と円Cとの共有点をQとする．AQの長さの最大値と最小値を求め・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第3問

関数列
fn(x)=x^{n-1},gn(x)=Σ_{k=1}n(-1)^{k-1}fk(x)(n=1,2,・・・)
について，次の各問に答えよ．
(1)Fn(x)=∫0xfn(t)dtを求めよ．
(2){gn(x)}が数列として収束するための実数xの条件を求めよ．また，xがこの条件を満たすときg(x)=\lim_{n→∞}gn(x)とおく．
∫0xg(t)dt
を求めよ．
(3)(1)のFn(x)について
-F_{n+1}(1)≦∫01\frac{(-1)nf_{n+1}(t)}{1+t}dt≦F_{n+1}(1)・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第4問

rとθを-1＜r＜1,0≦θ＜2πを満たす定数とする．行列A=r(\begin{array}{rr}
cosθ&-sinθ\\
sinθ&cosθ
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array})に対して，次の各問に答えよ．
(1)行列E-Aは逆行列を持つことを証明し，(E-A)^{-1}を求めよ．
(2)全ての自然数nについて
An=rn(\begin{array}{rr}
cosnθ&-sinnθ\\
sinnθ&cosnθ
\end{array})・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第1問

∠Cを直角とし斜辺の長さが1である直角三角形ABCにおいて，∠A=θとする．辺ACの中点をMとし，線分CM上に点Qをとり，CQ=xとする．点Qを通り辺BCに平行な直線と辺ABとの交点をPとし，線分PQを折り目として，△APQを元の三角形に折り重ねる．折り重ねた△A´PQと△ABCが重なってできる図形の面積をTとする．次の各問に答えよ．
\mon・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第2問

a,mを正の定数とする．座標平面において，曲線C:y=x3-2ax2+a2xと直線ℓ:y=m2xは，異なる3点を共有し，そのx座標はいずれも負ではないとする．次の各問に答えよ．
(1)mの取り得る値の範囲をaで表せ．また，Cとℓの共有点のx座標を求めよ．
(2)Cとℓで囲まれた2つの図形の面積が等しいとき，mをaで表せ．
(3)(2)のとき，2つの図形の面積の和が1/2になるようにaの値を定めよ．

　公立 高知工科大学 2010年 第3問

座標平面において，曲線y=exをCとし，点(1,0)をP1，点P1を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ1とする．
点Q1におけるCの接線とx軸との交点をP2，点P2を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ2とする．さらに，点Q2におけるCの接線とx軸との交点をP3，点P3を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ3とする．
以下同様の操作を繰り返し，x軸上の点列P1,P2,\ten・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第4問

1,2,3の3種類の数字を使ってできる正の整数を小さい方から順に並べた列を(S)とする：
(S):\qquad1,2,3,11,12,13,21,22,23,31,・・・
さらに，この列の区切りをなくして，すべての数字を一列に並べたものを(T)とする：
(T):\qquad12311121321222331・・・
次の各問に答えよ．
(1)(S)において，12は5番目の整数である．312は何番目の整数になるか求めよ．
(2)(S)において，2010番目の整数を求めよ．
(3)(T)において，初めて2が3個連続して並ぶ部分の最・・・

　公立 釧路公立大学 2010年 第1問

経済学において，企業とは自社の利益を最大にすることを目標に活動している組織であり，企業の利益は「売上総額-生産費用」で計算されると考えられている．
いま，ある企業が1日x台（ただしx≧0とする）の太陽光パネルを生産している．その1台あたりの販売価格p万円およびx台生産するための生産費用c万円は，生産台数xの関数で表され，それぞれp=-4x+a，c=x2+bである（a,bは定数である）．ただし，太陽光パネルの生産台数は工場の生産能力の限界により，1日10台までに制限されて・・・