「各問」について

　私立 昭和大学 2014年 第2問

平面上に2点A(-2,0)，B(0,0)および直線ℓ:x+y=2がある．直線ℓ上に点P(t,-t+2)をとる．次の各問に答えよ．
(1)∠APB=θとおく．このとき，常に0≦θ＜π/2となることがわかっている．
(1-1)t=-2のとき，tanθの値を求めよ．
(1-2)tanθをtを用いて表せ．
(2)∠APB=θを最大にする点Pの座標，およびそのときのtanθの値を求めよ．
\en・・・

　私立 昭和大学 2014年 第3問

次の各問に答えよ．
(1)1から8までの数字を1つずつ記した8個の球が袋の中に入っている．この袋から1個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を3回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った3個の数字のうち最大の数と最小の数の差をRとする．次の問に答えよ．
(1-1)R=1となる確率を求めよ．
(1-2)R=4となる確率を求めよ．
(1-3)Rの期待値を求めよ．
(2)xについての2次方程式x2+(\lo・・・

　私立 昭和大学 2014年 第4問

次の各問に答えよ．
(1)数列{an}(n=1,2,3,・・・)がan=∫01x2{(1-x)}^{n}dxにより与えられている．次の問に答えよ．
(1-1)数列{an}の一般項anをnを用いて表せ．
(1-2)Σ_{n=1}^∞(n+c)(an-a_{n+1})=2となる実数cの値を求めよ．
(2)|2x+y|+|2x-y|=2のグラフを図示せよ．

　私立 東洋大学 2014年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)2x=5y=160であるとき，xy-x-5y+5=[ア]である．
(2)整式P(x)を(x-2)(x-3)で割ると余りは4xであり，(x-3)(x-1)で割ると余りは3x+3である．このとき，P(x)を(x-1)(x-2)で割ると余りは[イ]x+[ウ]である．
(3)a=9+4√5，b=5-2√6とすると
1/a=[エ]-[オ]\sqrt{[カ]}，
1/b=[キ]+[ク]\sqrt{[ケ]}，
\vspace{・・・

　私立 東洋大学 2014年 第2問

x=sinθ(0≦θ≦π/3)とする．次の各問に答えよ．
(1)[ア]≦x≦\frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]}である．
(2)sinθcos2θをxで表すと，x([エ]-[オ]x2)となる．
(3)sinθcos2θはsinθ=\frac{[カ]}{\sqrt{[キ]}}のとき，最大値\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}をとる．

　私立 東洋大学 2014年 第3問

eを自然対数の底とする．関数y=xe^{2x}のグラフを曲線Cとおき，点(1,e2)におけるCの接線をℓとする．次の各問に答えよ．
(1)ℓの方程式はy=e2([ア]x-[イ])である．
(2)∫01e^{2x}dx=\frac{e2-[ウ]}{[エ]}である．また，∫01xe^{2x}dx=\frac{e2+[オ]}{[カ]}である．
(3)曲線C，接線ℓとy軸とで囲まれた図形の面積は\frac{[キ]e2+1}{\kakko{・・・

　私立 東洋大学 2014年 第4問

C1を半径1の円とする．H1を円C1に内接する正六角形とし，正六角形H1に内接する円をC2とする．次の各問に答えよ．
(1)円C2の半径は\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}である．
(2)円C2に内接する正六角形をH2とする．この操作を繰り返し，10個の円C1,C2,・・・,C_{10}を作る．このとき，C1,C2,・・・,C_{10}の円周の長さの総和は
\frac{\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}+[キ][ク][ケ]\sqrt{[コ]}}{256}π
である．
(3)円C1・・・

　私立 東京薬科大学 2014年 第4問

中心O，半径1の円周上に定点Aと動点P，Qがあり，P，Qは常に∠PAQ={120}°を満たしながら動いている．∠OAP=θとして次の各問に答えよ．ただし，*については+,-の1つが入る．
(1)θの動ける範囲は{[あい]}°＜θ＜{[うえ]}°である．
(2)AP，AQをsinθ，cosθを用いて表すと，
AP=[お]cosθ,AQ=\sqrt{[か]}\si・・・

　公立 釧路公立大学 2014年 第2問

以下の各問に答えよ．
(1)xの2次方程式x2+ax+a+8=0が異なる2つの実数解をもち，共に1より大きくなるようなaの範囲を求めよ．
(2){0}^{\circ}≦θ≦{180}^{\circ}のとき，関数y=sin4θ-2sin2θ+cos4θの最大値と最小値，およびそのときのθの値を求めよ．

　公立 釧路公立大学 2014年 第3問

n,mを整数とする．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)n2を5で割った余りは0,1または4であることを証明せよ．
(2)nを5で割った余りが4のとき，n2+nは5の倍数であることを証明せよ．
(3)m＞1のとき，m3-mが6の倍数であることを証明せよ．