「各問」について

　国立 茨城大学 2013年 第3問

平面上に△OABがあり，その面積はSである．辺ABをt:1-t(0＜t＜1)に内分する点をM，線分OMを3:1に内分する点をP，2点A，Pを通る直線と辺OBとの交点をQとする．また，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとおく．次の各問に答えよ．
(1)ベクトルAMをt,ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)△OAQの面積が1/10Sのときtの値を求めよ．

　国立 茨城大学 2013年 第4問

a,bを実数として，関数f(x)=x3-ax2+bx+1について次の各問に答えよ．
(1)微分係数f´(0)，f´(1)をa,bを用いて表せ．
(2)f(x)が極大値と極小値をもつためのa,bの条件を求めよ．
(3)f(x)が極大値と極小値をもつとき，極大値と極小値の平均が1となるためのa,bの条件を求めて，ab平面上に図示せよ．

　国立 茨城大学 2013年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)関数f(x)=loga(ax)を微分せよ．ただし，a＞0かつa≠1とする．
(2)関数g(x)=∫1^{x2+1}t2(t-1)5dtを微分せよ．
(3)定積分∫01\frac{1-x}{1+x}dxを求めよ．
(4)定積分∫1e\frac{log√x}{√x}dxを求めよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．

　国立 茨城大学 2013年 第2問

以下の各問に答えよ．
(1)不等式x+|y-1|≦1の表す領域を図示せよ．
(2)aを実数とする．このとき，
A(\begin{array}{c}
1\
2
\end{array})=(\begin{array}{c}
3\
1\\
2
\end{array})　かつ　A(\begin{array}{c}
2\
a
\end{array})=(\begin{array}{c}
2\
1\\
3
\end{array})
を満たす行列Aが存在するかどうかを調べよ．存在するときはAを求め，存在しないときは「存在しない」と答えよ．

　国立 茨城大学 2013年 第3問

平面上に△OABがあり，その面積はSである．辺ABをt:1-t(0＜t＜1)に内分する点をM，線分OMを3:1に内分する点をP，2点A，Pを通る直線と辺OBとの交点をQとする．また，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとおく．以下の各問に答えよ．
(1)ベクトルOPをt,ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)△OAQの面積が1/10Sのとき，tの値を求めよ．

　国立 茨城大学 2013年 第4問

連立不等式
0≦x≦π/2,-cosx≦y≦sin2x
の表す領域をDとする．以下の各問に答えよ．
(1)領域Dを図示せよ．
(2)領域Dの面積を求めよ．
(3)領域Dをx軸のまわりに1回転したときにできる立体の体積を求めよ．

　国立 茨城大学 2013年 第1問

原点をOとする座標平面上を運動する点P(x,y)が
x=sint,y=sin2t(0≦t≦π/2)
で表されるとき，点Pの描く曲線をCとする．（Cは右図のように\\
なっている．）以下の各問に答えよ．
\img{85218820131}{40}

(1)曲線Cとx軸が囲む図形の面積を求めよ．
(2)0＜t＜π/2のとき，点PにおけるCの接線ℓの方程式を求めよ．
(3)0＜t＜π/2のとき，(2)の接・・・

　国立 茨城大学 2013年 第2問

f(x)=x3-x+5として，曲線y=f(x)をCとする．点P(a,f(a))におけるCの接線をℓ，法線をnとする．以下の各問に答えよ．ただし，点PにおけるCの法線とは，点Pを通り，かつ点PにおけるCの接線に直交する直線のことである．
(1)ℓ,nの方程式をそれぞれ求めよ．
(2)ℓとCの共有点で，P以外のものの個数を求めよ．
(3)|a|＜\frac{1}{√3}のときには，nとCとの共有点がP以外にも存在することを示せ．

　国立 茨城大学 2013年 第3問

θ=\frac{2π}{3}とし，A=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})とおく．また，2次の単位行列をEで表す．以下の各問に答えよ．
(1)A3=Eを示せ．
(2)rを実数とする．自然数kに対して，行列(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}の(1,1)成分をakとおくとき，akをrを用いて表せ．
(3)自然数Nに対してxN=2Σ_{k=0}Nakとする．ただしakは，k≧1のときは(2)で定めたも・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i)y=\frac{x}{ex}\qquad(ii)y=log(\frac{2+sinx}{2-sinx})
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i)∫01\frac{2x2-x}{2x+1}dx
(ii)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xcos(x2)dx
(iii)∫01x3log(x2+1)dx
\vspace{・・・