「合成関数」について

　国立 名古屋工業大学 2015年 第2問

2つの関数
f(x)=\frac{2}{2x+3},g(x)=\frac{2x+1}{-x+2}
がある．
(1)関数g(x)の逆関数g^{-1}(x)を求めよ．
(2)合成関数g^{-1}(f(g(x)))を求めよ．
(3)実数cが無理数であるとき，f(c)は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ．
a1=g(√2),a_{n+1}=f(an)(n=1,2,3,・・・)
(5)(4)で定められた数列{an}の極限\lim_{n→∞}anを求めよ．

　私立 金沢工業大学 2014年 第1問

次の関数を考える．
f1(x)=x，f2(x)=x+1，f3(x)=x-1，f4(x)=x2-1(x≦0)，
f5(x)=\frac{1}{1-x}，f6(x)=\frac{x}{1-x}，f7(x)=\frac{x}{x+1}，f8(x)=\sqrt{x+1}，
f9(x)=-\sqrt{x+1}
(1){f4}^{-1}(x)=f_{[ア]}(x)であり，{f6}^{-1}(x)=f_{[イ]}(x)である．
(2)(f2\circf3)(x)=f_{[ウ]}(x)，(f3\circf5)(x)=f_{[エ]}(x)であり，
(f_・・・

　国立 東北大学 2012年 第2問

mを実数とする．座標平面上で直線y=xに関する対称移動を表す1次変換をfとし，直線y=mxに関する対称移動を表す1次変換をgとする．以下の問いに答えよ．
(1)1次変換gを表す行列Aを求めよ．
(2)合成関数g\circfを表す行列Bを求めよ．
(3)B3=(
\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}
)となるmをすべて求めよ．

　国立 長崎大学 2012年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)I1=∫0^{√3}\frac{dx}{x2+1}とする．x=tanθとおくことにより，I1=π/3を示せ．
(2)(1)のI1を部分積分して，I1とI2=∫0^{√3}\frac{dx}{(x2+1)2}の関係式を導き，I2の値を求めよ．
(3)t=x+\sqrt{x2+1}とおくことにより，不定積分∫\frac{dx}{\sqrt{x2+1}}を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数y=log(x+\sqrt{x2+1})の導関数を求めよ．
(5)極限値\・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

2つの関数
x=g(θ)=9/4sin2θ,y=h(x)=logx
に対して，関数g(θ)と関数h(x)の合成関数
f(θ)=h(g(θ))
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)f(π/3)=-[ア]log2+\frac{[イ]}{[ウ]}log3である．
(2)実数θ1がsinθ1+cosθ1=\frac{\sqrt{82}}{8}を満たすとき，
f(θ1)=-[エ]log2+[オ]log3
で・・・

　公立 高知工科大学 2012年 第4問

2つの関数
\begin{eqnarray}
&&f(x)=\frac{sinx}{1+cosx}(　定義域は　-π＜x＜π)\nonumber\\
&&g(x)=∫0x\frac{2}{1+t2}dt(　定義域は実数全体　)\nonumber
\end{eqnarray}
と，これらの合成関数h(x)=g(f(x))を考える．次の各問に答えよ．
(1)f(x),g(x),h(x)のそれぞれの導関数を求めよ．
(2)h(x)を求めよ．
(3)定積分∫0^{\frac{1}{2+√3}}\frac{2}{1+t2}dtの値を求めよ．

　国立 山口大学 2010年 第3問

A,A´をそれぞれ座標平面上の点(αcosθ,αsinθ)，(-αcosθ,-αsinθ)とし，fを行列
\biggl(\begin{array}{cc}
rcosθ&-rsinθ\\
rsinθ&rcosθ
\end{array}\biggr)
の表す1次変換とする．α=(45/4)^{1/6},r=(10/3)^{1/6},θ=π/6とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)2点A，A^{\prime}の逆変換f^{-1・・・

　公立 首都大学東京 2010年 第3問

整数の値をとる整数nの関数f(x),g(x)を
f(n)=1/2n(n+1),g(n)=(-1)n
で定め，その合成関数をh(n)=g(f(n))とする．さらに，1つのさいころを4回振って，出た目の数を順にj,k,l,mとしてa=h(j),b=h(k),c=h(l),d=h(m)とおき，関数
P(x)=ax3-3bx2+3cx-d
を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)n=1,2,3,4,5,6に対して，h(n)の値を求めなさい．
(2)P(x)がある点で極値をとる関数になる確率を求めなさい．
(3)P(x)が点(1,P(1))を変曲・・・