「命題」について

　公立 広島市立大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ．
a1=2,a_{n+1}-an=(n+1)(n+2)(n=1,2,3,・・・)
(2)A=(\begin{array}{cc}
1&1\
-1&2
\end{array})とし，pA+qE（p,qは実数）の形の2次正方行列全体の集合をMとする．ただし，Eは2次の単位行列とする．
(i)Aの逆行列A^{-1}を求めよ．
(ii)A^{-1}は集合Mに属することを示せ．
(3)m,nを正・・・

　公立 奈良県立医科大学 2014年 第13問

命題「実数a,bがともに正ならば，ab＞0である．」の対偶を述べよ．

　国立 九州大学 2013年 第5問

実数x,y,tに対して，行列
A=(\begin{array}{cc}
x&y\
-t-x&-x
\end{array}),B=(\begin{array}{rr}
5&4\
-6&-5
\end{array})
を考える．(AB)2が対角行列，すなわち(\begin{array}{cc}
α&0\
0&β
\end{array})の形の行列であるとする．
(1)命題「3x-3y-2t≠0⇒A=tB」を証明せよ．
以下(2)，(3)，(4)では，さらにA2≠EかつA4=Eであるとする．ただし，Eは単位行列を表す．
\mo・・・

　国立 東京大学 2013年 第5問

次の命題Pを証明したい．
命題P次の2条件(a)，(b)をともに満たす自然数（1以上の整数）Aが存在する．
(a)Aは連続する3つの自然数の積である．
(b)Aを10進法で表したとき，1が連続して99回以上現れるところがある．

以下の問いに答えよ．
(1)yを自然数とする．このとき不等式
x3+3yx2＜(x+y-1)(x+y)(x+y+1)＜x3+(3y+1)x2
が成り立つような正の実数xの範囲を求め・・・

　国立 群馬大学 2013年 第1問

a,bはともに0以上の実数とする．
(1)mを2以上の自然数とする．このとき，命題「am+bm＜1ならば，a+b≦1である」は，偽であることを示せ．
(2)命題「a+b＜1ならば，すべての自然数nに対してan+bn＜1である」の真偽を調べ，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

　国立 鹿児島大学 2013年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)四角形ABCDにおいて，線分ACと線分BDの交点をPとし，∠DAC=∠CBD，AC=8，AP=2，PD=4とする．このときBDの長さを求めよ．
(2)平面上で2つの円を考える．共通接線がちょうど3本引けるような2つの円の位置関係の例を図示せよ．また，3本の共通接線も描け．
(3)3個のさいころを同時に投げるとき，3個の目の積が3の倍数である確率を求めよ．
(4)a,bを実数とする．命題「ab=0ならば・・・

　私立 広島修道大学 2013年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)方程式|2x-3|+3=(x-3)2を解け．
(2)21本のくじの中に当たりくじがn本ある．このくじを同時に2本引くとき，次の問に答えよ．ただし，1≦n≦21とする．
(i)2本ともはずれる確率を求めよ．
(ii)少なくとも1本は当たる確率が1/2以上となる最小のnを求めよ．
(3)x,yは実数とする．
命題p：「x≠3またはy≠2」ならば「2x-y≠4ま・・・

　私立 沖縄国際大学 2013年 第3問

以下の各問いに答えなさい．
(1)次の命題(i)～\tokeijyuの真偽を書きなさい．
(i)自然数ならば偶数である．
(ii)食べ物ならば果物である．
(iii)人間でないならば動物ではない．
\mon[\tokeishi]整数ならば実数である．
\mon[\tokeigo]|2x2-5x-3|＞0ならばx≠3である．
\mon[\tokeiroku]x2=9ならばx=3である．
\mon[\tokeishichi]2の倍数ならば4の倍数である．
\mon[\tokeihachi]x+y＞0ならばx＞0かつy＞0・・・

　私立 北里大学 2013年 第1問

次の各文の[]にあてはまる答を求めよ．
(1)x=\frac{-1+√5}{2}のとき，x2+xの値は[ア]であり，x4-x3の値は[イ]である．
(2)10人の生徒をいくつかのグループに分ける．このとき
(i)2人，3人，5人の3つのグループに分ける分け方は[ウ]通りある．
(ii)3人，3人，4人の3つのグループに分ける分け方は[エ]通りある．
(iii)2人，2人，3人，3人の4つのグループ・・・

　私立 聖マリアンナ医科大学 2013年 第4問

以下の命題が真であれば証明し，偽であれば反例をあげて偽であることを説明しなさい．
(1)pを，4で割ると3余る素数とする．このとき，2p+1は3の倍数であるか，または素数である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})の成分と，Aの逆行列A^{-1}の成分がすべて整数であるとする．このとき，|ad-bc|=1である．