「命題」について

　私立 大同大学 2011年 第8問

次の命題①～⑥を考える．ただしa,b,xは実数とする．
①a＞bならばa-b＞1
②a＞bならばb-a＜1
③a2=b2ならばa=b
④x＞3ならばx2-x-6＞0
⑤x2-x-6＞0ならばx＞3
⑥鈍角三角形の最小の角は{45}°より小さい
(1)正しい命題の番号を書け．
(2)正しくない命題のそれぞれに対し，反例をあげよ．

　公立 公立はこだて未来大学 2011年 第1問

x,yは実数とする．命題「3x2+y2+4xy≠0ならばx+y≠0である」について，以下の問いに答えよ．
(1)命題の逆，裏，対偶をそれぞれ述べよ．
(2)命題を証明せよ．
(3)命題の裏の反例を1つあげよ．

　国立 鹿児島大学 2010年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)正の実数aに関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)aが自然数ならば√aは無理数である．
(3)aが無理数ならば√aも無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)△ABCにおいて，∠A=75°,∠B=60°,AB=1とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と△\ten・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)正の実数aに関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)aが自然数ならば√aは無理数である．
(3)aが無理数ならば√aも無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)△ABCにおいて，∠　A　=75°,∠　B　=60°,　AB　=1とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と△ABCの外接円との交点をPとする・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)正の実数aに関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(2)aが自然数ならば√aは無理数である．
(3)aが無理数ならば√aも無理数である．
(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)△ABCにおいて，∠　A　=75°,∠　B　=60°,　AB　=1とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と△ABCの外接円との交点をPとする・・・

　国立 愛知教育大学 2010年 第7問

2次の正方行列A,Bに対して，次の命題が真か偽かを答えよ．さらに，真ならば証明をし，偽ならば反例をあげよ．
(1)A,Bがともに逆行列を持つならば，和A+Bも逆行列を持つ．
(2)行列の和A+Bが逆行列を持つならば，A,Bはともに逆行列を持つ．
(3)A,Bがともに逆行列を持つならば，積ABAも逆行列を持つ．
(4)行列の積ABAが逆行列を持つならば，A,Bはともに逆行列を持つ．

　国立 千葉大学 2010年 第11問

f(x)は実数全体で定義された関数とする．実数aに関する条件(P)を考える．
(P)正の実数rを十分小さく選べば，|x-a|＜rをみたすすべての実数xに対してf(x)≦f(a)が成り立つ．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)実数aが条件(P)をみたし，かつ，f(x)がx=aで微分可能ならば，f´(a)=0であることを証明せよ．
(2)関数f(x)が
f(x)={
\begin{array}{ll}
|x|-x&(x＜1　のとき　)\\
\abs{x2-6x+8・・・

　私立 東北学院大学 2010年 第5問

次の命題の真偽を述べよ．また，真であるときは証明し，偽であるときは反例（成り立たない例）をあげよ．ただし，x,yは実数とし，nは自然数とする．
(1)xが無理数ならば，x2とx3の少なくとも一方は無理数である．
(2)x+y,xyがともに有理数ならば，x,yはともに有理数である．
(3)n2が8の倍数ならば，nは4の倍数である．

　私立 北海道科学大学 2010年 第7問

自然数a,bに関する命題，
(i)a,bが両方とも奇数ならばabは奇数である．
(ii)abが奇数ならばa2+b2は偶数である．
(iii)3a+2bが奇数ならば，a,bは両方とも奇数である．
について，次の問に答えよ．
(1)これらの命題のうち，真であるものは[]．
(2)これらの命題のうち，逆が真であるものは[]．

　公立 公立はこだて未来大学 2010年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a＞0,b＞0に対して，次の命題が成り立つことを証明せよ．
a2-b2＞0　ならば　a-b＞0　である．　
(2)実数x,yがxy＞0をみたすとき，不等式|x+y|＞|x-y|を証明せよ．