「四面体」について

　国立 埼玉大学 2015年 第2問

四面体ABCDがある．線分AB，BC，CD，DA上にそれぞれ点P，Q，R，Sがある．点P，Q，R，Sは同一平面上にあり，四面体のどの頂点とも異なるとする．このとき下記の設問に答えよ．
(1)PQとRSが平行であるとき，等式
AP/PB・BQ/QC・CR/RD・DS/SA=1
が成り立つことを示せ．
(2)PQと・・・

　国立 旭川医科大学 2015年 第4問

四面体OAPQにおいて，∠AOP=∠AOQ=∠POQ={60}°，OA=1，OP=p，OQ=qとし，頂点Aから平面OPQに下ろした垂線をAHとする．ただし，p≦qとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルAP・ベクトルAQをp,qを用いて表せ．
(2)AHの長さを求めよ．
(3)p+q=3，および△APQの面積が1のとき，以下の値を求めよ．
(1)pq\qquad(2)p\qquad(3)　四面体　\t・・・

　国立 金沢大学 2015年 第1問

四面体OABCにおいて，3つのベクトルベクトルOA，ベクトルOB，ベクトルOCはどの2つも互いに垂直であり，h＞0に対して，
|ベクトルOA|=1,|ベクトルOB|=2,|ベクトルOC|=h
とする．3点O，A，Bを通る平面上の点Pは，ベクトルCPがベクトルCAとベクトルCBのどちらとも垂直となる点であるとする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOP=αベクトルOA+βベクトルOBとするとき，αとβをhを用いて表せ．
(2)直線OPと直線AB・・・

　国立 名古屋工業大学 2015年 第4問

四面体ABCDは
(i)BA=\sqrt{66}，BC=7，BD=\sqrt{65}
(ii)ベクトルBA・ベクトルBC=28，ベクトルBC・ベクトルBD=35，ベクトルBD・ベクトルBA=40
を満たす．頂点Aから平面BCDに下ろした垂線をAHとする．
(1)辺ACの長さを求めよ．
(2)ベクトルBHをベクトルBC，ベクトルBDを用いて表せ．
(3)線分CHの長さを求めよ．
(4)面ABCを直線\ten{A・・・

　国立 東北大学 2015年 第5問

t＞0を実数とする．座標平面において，3点A(-2,0)，B(2,0)，P(t,√3t)を頂点とする三角形ABPを考える．
(1)三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ．
(2)三角形ABPの垂心の座標を求めよ．
(3)辺AB，BP，PAの中点をそれぞれM，Q，Rとおく．tが(1)で求めた範囲を動くとき，三角形ABPを線分MQ，QR，RMで折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，その・・・

　国立 東北大学 2015年 第2問

t＞0を実数とする．座標平面において，3点A(-2,0)，B(2,0)，P(t,√3t)を頂点とする三角形ABPを考える．
(1)三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ．
(2)三角形ABPの垂心の座標を求めよ．
(3)辺AB，BP，PAの中点をそれぞれM，Q，Rとおく．tが(1)で求めた範囲を動くとき，三角形ABPを線分MQ，QR，RMで折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，その・・・

　国立 東京工業大学 2015年 第2問

四面体OABCにおいて，OA=OB=OC=BC=1，AB=AC=xとする．頂点Oから平面ABCに垂線を下ろし，平面ABCとの交点をHとする．頂点Aから平面OBCに垂線を下ろし，平面OBCとの交点をH´とする．
(1)ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとし，ベクトルOH=pベクトルa+qベクトルb+rベクトルc，\overrightarrow{OH´}=sベクトルb+tベクトルcと表す．・・・

　国立 鳥取大学 2015年 第2問

点Oを原点とする座標空間において，4点O，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(1,1,2)を頂点とする四面体がある．点Oから平面ABCに垂線OHを下ろし，直線AHと直線BCの交点をPとする．ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとするとき，次の問いに答えよ．
(1)実数s,t,uを用いて，ベクトルOH=sベクトルa+tベクトルb+uベクトルcとおくとき，s,t,uを求めよ．
(2)線分\ten{・・・

　国立 鳥取大学 2015年 第3問

点Oを原点とする座標空間において，4点O，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(1,1,2)を頂点とする四面体がある．点Oから平面ABCに垂線OHを下ろし，直線AHと直線BCの交点をPとする．ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとするとき，次の問いに答えよ．
(1)実数s,t,uを用いて，ベクトルOH=sベクトルa+tベクトルb+uベクトルcとおくとき，s,t,uを求めよ．
(2)線分\ten{・・・

　国立 鳥取大学 2015年 第2問

点Oを原点とする座標空間において，4点O，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(1,1,2)を頂点とする四面体がある．点Oから平面ABCに垂線OHを下ろし，直線AHと直線BCの交点をPとする．ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとするとき，次の問いに答えよ．
(1)実数s,t,uを用いて，ベクトルOH=sベクトルa+tベクトルb+uベクトルcとおくとき，s,t,uを求めよ．
(2)線分\ten{・・・