「四面体」について

　公立 福島県立医科大学 2013年 第2問

一辺の長さが8である正四面体OABCの辺OA，OB，OC上に点D，E，Fがあって，AD=OE=OF=5を満たしている．△DEFの重心Gを通り△DEFを含む平面に垂直な直線が，△ABCを含む平面と交わる点をHとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとして，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOGをベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いて表・・・

　国立 京都大学 2012年 第2問

正四面体OABCにおいて，点P，Q，Rをそれぞれ辺OA，OB，OC上にとる．ただしP，Q，Rは四面体OABCの頂点とは異なるとする．△PQRが正三角形ならば，3辺PQ，QR，RPはそれぞれ3辺AB，BC，CAに平行であることを証明せよ．

　国立 京都大学 2012年 第2問

正四面体OABCにおいて．点P，Q，Rをそれぞれ辺OA，OB，OC上にとる．ただしP，Q，Rは四面体OABCの頂点とは異なるとする．△PQRが正三角形ならば，3辺PQ，QR，RPはそれぞれ3辺AB，BC，CAに平行であることを証明せよ．

　国立 千葉大学 2012年 第2問

AB=5,BC=7,CA=8およびOA=OB=OC=tを満たす四面体OABCがある．
(1)∠BACを求めよ．
(2)△ABCの外接円の半径を求めよ．
(3)4つの頂点O，A，B，Cが同一球面上にあるとき，その球の半径が最小になるような実数tの値を求めよ．

　国立 静岡大学 2012年 第2問

四面体ABCDがある．△ABC，△ABDの重心をそれぞれE，Fとおき，線分DEと線分CFの交点をGとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)線分DEと線分CFが交わる理由を述べよ．
(2)Oを空間内の定点とし，ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOC,ベクトルd=ベクトルODとおく．このとき，ベクトルOGをベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,ベクトルdを用いて表せ．
(3)A(0,0,4)，B(-1,3,0)，C(3,0,0)，D(-2,-3,0)のとき，∠　AGB　・・・

　国立 静岡大学 2012年 第2問

四面体ABCDがある．△ABC，△ABDの重心をそれぞれE，Fとおき，線分DEと線分CFの交点をGとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)線分DEと線分CFが交わる理由を述べよ．
(2)Oを空間内の定点とし，ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOC,ベクトルd=ベクトルODとおく．このとき，ベクトルOGをベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,ベクトルdを用いて表せ．
(3)A(0,0,4)，B(-1,3,0)，C(3,0,0)，D(-2,-3,0)のとき，∠　AGB　・・・

　国立 東京工業大学 2012年 第6問

xyz空間に4点P(0,0,2)，A(0,2,0)，B(√3,-1,0)，C(-√3,-1,0)をとる．四面体PABCのx2+y2≧1をみたす部分の体積を求めよ．

　国立 筑波大学 2012年 第4問

四面体OABCにおいて，次が満たされているとする．
ベクトルOA・ベクトルOB=ベクトルOB・ベクトルOC=ベクトルOC・ベクトルOA
点A，B，Cを通る平面をαとする．点Oを通り平面αと直交する直線と，平面αとの交点をHとする．
(1)ベクトルOAとベクトルBCは垂直であることを示せ．
(2)点Hは△ABCの垂心であること，すなわちベクトルAH⊥ベクトルBC,ベクトルBH⊥ベクトルCA,ベクトルCH⊥ベクトルAB・・・

　国立 九州工業大学 2012年 第2問

四面体OABCは　OA　=1,　OB　=\sqrt{15},　OC　=2,∠　AOB　=π/2,∠　AOC　=π/3を満たしている．線分OAとOBをs:1-s(0＜s＜1)に内分する点をそれぞれP，Qとし，△CPQの重心をGとする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルc,∠　BOC　=θ(0＜θ＜π)として，次に答えよ．
(1)ベクトルベクトルOGをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcとsを用いて表せ．
(2)ベクトル\vec・・・

　国立 岩手大学 2012年 第2問

座標空間内に3点A(2,2,0)，B(0,2,2)，C(2,0,2)がある．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルベクトルABとベクトルACのなす角θを求めよ．ただし，0°＜θ＜180°とする．
(2)△ABCの面積を求めよ．
(3)原点Oから平面ABCに垂線をおろし，平面ABCとの交点をHとする．点Hは平面ABC上にあるからベクトルOH=rベクトルOA+sベクトルOB+tベクトルOC(r+s+t=1)と表すことができる．このとき，r,s,tを求めよ．
(4)四面体OABCの体積を求めよ．
(5)球Pが四面体OABCのす・・・