「四面体」について

　私立 早稲田大学 2012年 第3問

四面体OABCにおいて，ベクトルAC,ベクトルOBはいずれもベクトルOAに直交し，ベクトルACとベクトルOBのなす角は60度であり，
AC=OB=2,OA=3
である．このとき，三角形ABCの面積は[オ]\sqrt{[カ]}であり，四面体OABCの体積は\sqrt{[キ]}である．ただし，[カ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

　私立 明治大学 2012年 第1問

次の各問の[]にあてはまる数または式を入れよ．
(1)sinθ+cosθ=1/2のとき，sinθcosθ=-\frac{[ア]}{[イ]}である．　　　　　
(2)不等式|5x-41|＜2x+1を満たす整数xの最大値は[ア][イ]であり，最小値は[ウ]である．
(3)(x-3y+z)6の展開式における，x2y2z2の項の係数は[ア][イ][ウ]である．
(4)四面体ABCDにおいて，2辺AC，BDの中点をそれぞれ\ten・・・

　私立 甲南大学 2012年 第2問

aを正の実数とする．空間内の3点A(0,1,0)，B(2,0,0)，C(0,0,2)を通る平面をαとし，点P(0,1-a,0)から平面αに下ろした垂線の足をHとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)等式ベクトルPH=ベクトルPA+sベクトルAB+tベクトルACが成り立つように実数s,tの値を定めよ．
(2)線分BCの中点をMとするとき，点Hは直線AM上にあることを示せ．
(3)実数aが0＜a＜3の範囲を動くとき，四面体BCHPの体積・・・

　私立 甲南大学 2012年 第2問

aを正の実数とする．空間内の3点A(0,1,0)，B(2,0,0)，C(0,0,2)を通る平面をαとし，点P(0,1-a,0)から平面αに下ろした垂線の足をHとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)等式ベクトルPH=ベクトルPA+sベクトルAB+tベクトルACが成り立つように実数s,tの値を定めよ．
(2)線分BCの中点をMとするとき，点Hは直線AM上にあることを示せ．
(3)実数aが0＜a＜3の範囲を動くとき，四面体BCHPの体積・・・

　私立 西南学院大学 2012年 第5問

原点をOとする空間に四面体OPQRがある．P，Q，Rの位置ベクトルをそれぞれ，ベクトルp，ベクトルq，ベクトルrとするとき，△PQRの重心Gの位置ベクトルベクトルgは，ベクトルg=1/3(ベクトルp+ベクトルq+ベクトルr)となることを示せ．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第2問

Oを原点とする座標空間において，4点
A1(1,1,1),B1(-1,-1,1),C1(1,-1,-1),D1(-1,1,-1)
を考えると，立体A1B1C1D1は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体A1B1C1D1をxy平面に平行な平面z=-1+h(0≦h≦2)で切ったときに出来る図形の面積をS(h)とすると，
S(h)=-[34]h2+[35]h
と表され，S(h)はh=\ka・・・

　私立 中央大学 2012年 第3問

h＞0,d≧0とし，座標空間において4点A(0,0,1)，B(0,0,-1)，C(h,0,-d)，D(0,h,d)を頂点とする四面体を考える．さらにCD=2とする．したがって，四面体の6本の辺のうち向かい合う2辺の長さは3組とも互いに等しい．つまり
AB=CD,AC=BD,AD=BC
となっており，4つの面はすべて互いに合同である．この四面体ABCDについて以下の問いに答えよ．
(1)hをdで表し，dのとりうる値の範囲・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の文章中の[ア]から[ヒ]までに当てはまる数字0～9を求めよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)aを実数とするとき，方程式
|x|-|x2-4|+|x+6|=a
を考える．この方程式の実数解が2個であるための条件は
a＜[ア],[イ]＜a＜[ウ][エ]
であり，実数解を持たないための条件は
a＞[オ][カ]
である．また，次の不等式
|x|-|x2-4|+|x+6|＞2
には，正の整数解が[キ]個，負の整数解が[ク]個あ・・・

　私立 日本女子大学 2012年 第1問

空間内に3点A(0,\frac{1}{√2},\frac{1}{√3})，B(1,0,\frac{1}{√3})，C(1,\frac{1}{√2},0)がある．3点A，B，Cを通る平面をαとする．
(1)平面αに関して原点O(0,0,0)と対称な点Rの座標を求めよ．
(2)四面体OABCの体積を求めよ．

　私立 金沢工業大学 2012年 第5問

四面体ABCDにおいて，底面の△BCDは1辺の長さが2の正三角形であり，∠BAC=∠CAD=∠DAB=90°である．辺BCの中点をMとする．
(1)DA=\sqrt{[ア]}である．
(2)ベクトルベクトルDA，ベクトルDB，ベクトルDC，ベクトルDMについて，ベクトルDA・ベクトルDB=ベクトルDA・ベクトルDC=[イ]であり，ベクトルDA・ベクトルDM=[ウ]である．
(3)cos∠ADM=\frac{\sqrt{\k・・・