「四面体」について

　私立 京都薬科大学 2011年 第4問

四面体OABCについて，次の[]にあてはまる正の数を記入せよ．ただし，[ア]:[イ]，[ウ]:[エ]および[オ]:[カ]については，もっとも簡単な整数比で表すこと．
(1)三角形ABCの重心をG，線分OGを3:2に内分する点をD，直線BDと平面AOCの交点をE，直線OEと直線ACとの交点をFとする．このとき，
ベクトルOG=[]ベクトルOA+[]ベクトルOB+[]ベクトルOC
となり，・・・

　私立 青山学院大学 2011年 第2問

四面体OABCを考える．またベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおく．次の問に答えよ．
(1)線分ABを2:1に内分する点をDとする．このときベクトルODをベクトルa，ベクトルbを用いて表すと
ベクトルOD=\frac{[]}{[]}ベクトルa+\frac{[]}{[]}ベクトルb
である．
(2)線分BCを1:3に内分する点をEとし，直線CDとAEの交点をPとする．ベクトルOPをベクトルa，\vectit{b・・・

　公立 大阪市立大学 2011年 第2問

座標空間を運動する3点A，B，Cの時刻tにおける座標をそれぞれ(t,0,t)，(√2t,1-2t,√2(1-t))，(-t,-√2t,t)とする．原点をOと記すとき，次の問いに答えよ．ただし，0＜t＜1/2とする．
(1)ベクトルOA⊥ベクトルOC,ベクトルOB⊥ベクトルOCを示せ．
(2)△ABCの面積S(t)はt(1-2t)であることを示せ．
(3)四面体OABCの体積V(t)の0＜t＜1/2における最大値を求め・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第2問

四面体OABCと，Oと異なる点Gが与えられているとき，以下の問いに答えよ．
(1)等式　AG　2=　OG　2-2ベクトルOG・ベクトルOA+　OA　2を示せ．ただし，ベクトルOG・ベクトルOAはベクトルOGとベクトルOAの内積を表す．
(2)ベクトルOGが
ベクトルOG=aベクトルOA+bベクトルOB+cベクトルOC
と表されているとき，
a　AG　2+b　BG　2+c　CG　2=a　OA　2+b　OB　2+c　OC　2
が成り立つための実数a,b,cについての条件を求めよ．

　公立 兵庫県立大学 2011年 第4問

座標空間内に4点O(0,0,0)，A(2,0,1)，B(0,2,1)，C(3,3,-3)がある．3点O，A，Bを通る平面α上の点Pに対して，ベクトルベクトルOPは適当な2つの実数s,tを用いて，ベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOBと表すことができる．以下の問に答えなさい．
(1)平面α上にない点Q(a,b,c)に対して，線分QHが平面αと垂直になるようなα上の点Hの座標をa,b,cを用いて表しなさい・・・

　公立 富山県立大学 2011年 第2問

四面体OABCにおいて，辺OAと辺BCをt:(1-t)に内分する点を，それぞれDとFとする．また，辺ABと辺COをt/3:(1-t/3)に内分する点を，それぞれEとGとする．ただし，0＜t＜1である．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとしたとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,tを用いて，ベクトルOD，ベクトルOE，ベクトルOF，\vect{OG・・・

　国立 京都大学 2010年 第2問

四面体ABCDにおいてベクトルCAとベクトルCB，ベクトルDAとベクトルDB，ベクトルABとベクトルCDはそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ．

　国立 京都大学 2010年 第1問

四面体ABCDにおいてベクトルCAとベクトルCB，ベクトルDAとベクトルDB，ベクトルABとベクトルCDはそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ．

　国立 東北大学 2010年 第4問

四面体ABCDにおいて，辺ABの中点をM，辺CDの中点をNとする．以下の問いに答えよ．
(1)等式
ベクトルPA+ベクトルPB=ベクトルPC+ベクトルPD
を満たす点Pは存在するか．証明をつけて答えよ．
(2)点Qが等式
|ベクトルQA+ベクトルQB|=|ベクトルQC+ベクトルQD|
を満たしながら動くとき，点Qが描く図形を求めよ．
(3)点Rが等式
|ベクトルRA|2+|ベクトルRB|2=|ベクトルRC|2+|ベクトルRD|2
を満たしながら動くとき，内積ベクトルMN・ベクトルMRはRのとり方によらず一定であることを示せ．
(4)(2)の・・・

　国立 東北大学 2010年 第4問

四面体ABCDにおいて，辺ABの中点をM，辺CDの中点をNとする．以下の問いに答えよ．
(1)等式
ベクトルPA+ベクトルPB=ベクトルPC+ベクトルPD
を満たす点Pは存在するか．証明をつけて答えよ．
(2)点Qが等式
|ベクトルQA+ベクトルQB|=|ベクトルQC+ベクトルQD|
を満たしながら動くとき，点Qが描く図形を求めよ．
(3)点Rが等式
|ベクトルRA|2+|ベクトルRB|2=|ベクトルRC|2+|ベクトルRD|2
を満たしながら動くとき，内積ベクトルMN・ベクトルMRはRのとり方によらず一定であることを示せ．
(4)(2)の・・・