「四面体」について

　国立 名古屋大学 2010年 第1問

座標空間に8点
\begin{eqnarray}
&&　O　(0,0,0),　P　(1,0,0),　Q　(1,1,0),　R　(0,1,0),\nonumber\
&&　A　(0,0,1),　B　(1,0,1),　C　(1,1,1),　D　(0,1,1)\nonumber
\end{eqnarray}
をとり，線分BCの中点をMとする．線分RD上の点をN(0,1,t)とし，3点O，M，Nを通る平面と線分PDおよび線分PBとの交点をそれぞれK，Lとする．
(1)Kの座標をtで表せ．
(2)四面体OKLPの体積をV(t)とする．Nが線分RD上をRからDまで動くとき，V(t・・・

　国立 信州大学 2010年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)四面体OABCにおいて，OA⊥BCかつOB⊥CAならば，OC⊥ABとなることを証明せよ．
(2)不定積分∫x3e^{x2}dxを求めよ．
(3)極限値\lim_{n→∞}Σ_{k=1}n\frac{n}{4n2-k2}を求めよ．

　国立 東京大学 2010年 第6問

四面体OABCにおいて，4つの面はすべて合同であり，OA=3，OB=√7，AB=2であるとする．また，3点O，A，Bを含む平面をLとする．
(1)点Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく．ベクトルOHをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ．
(2)0＜t＜1をみたす実数tに対して，線分OA，OB各々をt:1-tに内分する点をそれぞれPt，Qtとおく．2点Pt，Qtを通り，平面Lに垂直な平面を・・・

　国立 岐阜大学 2010年 第3問

空間内の四面体OABCについて，ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおく．辺OA上の点Dは　OD　:　DA　=1:2を満たし，辺OB上の点Eは　OE　:　EB　=1:1を満たし，辺BC上の点Fは　BF　:　FC　=2:1を満たすとする．3点D，E，Fを通る平面をαとする．以下の問に答えよ．
(1)αと辺ACが交わる点をGとする．ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いてベクトルOGを表せ．
(2)αと直線OCが交わる点をHとする．　OC　:　CH　を求めよ・・・

　国立 岐阜大学 2010年 第3問

空間内の四面体OABCについて，ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおく．辺OA上の点Dは　OD　:　DA　=1:2を満たし，辺OB上の点Eは　OE　:　EB　=1:1を満たし，辺BC上の点Fは　BF　:　FC　=2:1を満たすとする．3点D，E，Fを通る平面をαとする．以下の問に答えよ．
(1)αと辺ACが交わる点をGとする．ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いてベクトルOGを表せ．
(2)αと直線OCが交わる点をHとする．　OC　:　CH　を求めよ・・・

　国立 三重大学 2010年 第2問

四面体OABCは，　OA　=√5,　OB　=　OC　=5,　AB　=　AC　=\sqrt{30},　BC　=5√2を満たすものとする．辺OBを2:1に外分する点をD，辺OCを3:2に外分する点をEとする．Oから直線DEに引いた垂線と直線BCとの交点をFとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとして，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルc,ベクトルc・ベクトルaを求めよ．
(2)ベクトルOFとベクトルAFを\vectit{・・・

　国立 福井大学 2010年 第1問

空間内に4点O，A，B，Cがあり，　OA　=　OB　=√5,　OC　=1である．また，ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとおくと，ベクトルa・ベクトルb=4,ベクトルb・ベクトルc=1が成り立っている．2点A，Cから直線OBにそれぞれ垂線を下ろし，直線OBとの交点をD，Eとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルDA,ベクトルECをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルcのとりうる値の範囲を・・・

　国立 新潟大学 2010年 第1問

四面体OABCにおいて，　OA　=　OB　=　OC　=3，　AB　=　BC　=　CA　=√6である．また，点Pは辺ABをx:1-xに内分し，点Qは辺OCをy:1-yに内分する(0＜x＜1，0＜y＜1)．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとして，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ．
(2)ベクトルPQをベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,x,yで表せ．
(3)2点P，Qの間の距離PQの最小値と，そのときのx,yの値を求めよ．

　国立 東京農工大学 2010年 第1問

Oを原点とする座標空間にある，中心C(1,1,\sqrt{10})，半径3√3の球面をSとする．次の問いに答えよ．
(1)Sとx軸の正の部分との交点をPとし，Sとy軸の正の部分との交点をQとする．P，Qの座標を求めよ．
(2)2点O，Cを通る直線とSとの交点のうち，z座標が正であるものをRとする．Rの座標を求めよ．
(3)四面体OPQRの体積Vを求めよ．
(4)4点O，P，Q，Rを通る球面の半径r1を求めよ．
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径をr2とする．このとき，\frac{r1}{r2}の値を・・・

　国立 滋賀医科大学 2010年 第2問

四面体OABCにおいて，ベクトルOA⊥ベクトルOB,ベクトルOA⊥ベクトルBC,ベクトルOB⊥ベクトルBCとする．
(1)三角形OAB,OAC,OBC,ABCはすべて直角三角形であることを示せ．
(2)OCの中点Mから平面ABCに下ろした垂線の足をNとする．
ベクトルCN=sベクトルCA+tベクトルCB
と表すときのs,tを，長さOA,OBで表せ．