「四面体」について

　私立 早稲田大学 2014年 第1問

[ア]～[エ]にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)xについての多項式P(x)をx2+x+1で割った余りがx+1，x2-x+1で割った余りがx-1のとき，P(x)を(x2+x+1)(x2-x+1)で割った余りは[ア]である．
(2)関数f(x)が次の条件を満たすとき，f(x)=[イ]である．
任意の実数xに対して，∫0xf(t)dt-3∫_{-x}0f(t)dt=x3
(3)次の等式を満たす最大の整数aはa=[ウ]である．
[a/2]+[\frac{2a}{・・・

　私立 早稲田大学 2014年 第1問

次の空欄[1]から[6]にあてはまる数または数式を記入せよ．
(1)3次曲線y=x3-6x2+11x-4と直線y=axが第1象限の相異なる3点で交わるような定数aの範囲は[1]＜a＜[2]である．
(2)硬貨を投げ，3回つづけて表が出たら終了する．n回以下で終了する場合の数をfnとする．f_{10}=[3]である．
(3)不等式a/19＜log_{10}7＜b/13を満たす最大の整数aと最小の整数bはa=[4]，b=[5]である．必要に応じて次の・・・

　私立 北里大学 2014年 第1問

つぎの[]にあてはまる答を記せ．
(1)空間に4点A(5,1,3)，B(4,4,3)，C(2,3,5)，D(4,1,3)がある．
(i)ベクトルDAとベクトルDBのなす角をθとおくとき，θ=[ア]である．ただし，0°≦θ≦{180}°とする．
(ii)四面体ABCDの体積は[イ]である．
(2)aを実数とする．xについての2次方程式x2-2xlog2{(a+1)(a-5)}+4=0の・・・

　私立 同志社大学 2014年 第2問

座標空間において原点O(0,0,0)と，3点A(a,a,b)，B(a,b,a)，C(b,a,a)(b＞a≧0)を頂点とする四面体OABCを考える．次の問いに答えよ．
(1)△ABCの面積Sを求めよ．
(2)四面体OABCの体積Vを求めよ．
(3)四面体OABCが正四面体となる条件を，aとbを用いて表せ．
(4)a,bがともに自然数のとき，(3)の条件を満たすbの最小値と，そのときのaの値をそれぞれ求めよ．また，そのときのSとVを求めよ．・・・

　私立 同志社大学 2014年 第2問

座標空間内の球面x2+y2+z2=9上に3点A(3,0,0)，B(2,1,2)，C(1,-2,2)をとる．次の問いに答えよ．
(1)△ABCの面積を求めよ．
(2)3点A，B，Cを通る平面に，原点Oから下ろした垂線の足Hの座標を求めよ．
(3)球面上を動く点Pを頂点とする四面体PABCを考え，その体積をVとする．Vの最大値と，そのときの点Pの座標を求めよ．

　私立 九州産業大学 2014年 第4問

4点A(-√3,√3,1)，B(√3,-√3,1)，C(-3,-3,1)，Dを頂点とする四面体ABCDについて考える．ただし，点Dのz座標は負の数であり，|ベクトルAD|=|ベクトルBD|=|ベクトルCD|=\sqrt{17}とする．また，原点をOとする．
(1)|ベクトルAB|=[ア]である．
(2)点Dの座標は[イ]である．
(3)点Aを通り，z軸に垂直な平面の方程式は[ウ]である．
(4)3点A，B，Cの定・・・

　私立 獨協医科大学 2014年 第3問

空間に，同一直線上にない3点O，A，Bがあり，条件
|ベクトルOA|=2,|ベクトルOB|=1ベクトルOA・ベクトルOB=-1
を満たしている．O，A，Bを通る平面をαとし，α上にない点Pを次の条件を満たすようにとる．
ベクトルOP・ベクトルOA=2,ベクトルOP・ベクトルOB=-1
点Pから平面αに下ろした垂線とαとの交点をHとすると
ベクトルOH=\frac{[ア]}{[イ]}ベクトルOA-\frac{[ウ]}{\kakko{・・・

　公立 大阪市立大学 2014年 第2問

座標空間内に4点A(0,-1,0)，B(2,0,1)，C(0,t,-1)，D(u,2,1)がある．ただし，t,uは実数であり，ベクトルABとベクトルACは垂直であるとする．次の問いに答えよ．
(1)tの値を求めよ．
(2)ベクトルAB，ベクトルACの両方に垂直で大きさが1のベクトルベクトルn=(p,q,r)のうちp＞0となるものを求めよ．
(3)4点A，B，C，Dが同一平面に含まれるならばu=4であることを示せ．
(4)u=3のとき四面体ABCDの体・・・

　公立 札幌医科大学 2014年 第3問

aを0＜a＜1とする．座標空間の4点をO(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1/a,0)，C(0,0,\frac{1}{1-a})とする．また，4点O，A，B，Cを頂点とする四面体に内接する球をSとする．
(1)3点A，B，Cを通る平面に直交し長さが1のベクトルをaを用いて表せ．
(2)3点A，B，Cを通る平面と球Sの接点の座標をaを用いて・・・

　公立 広島市立大学 2014年 第3問

四面体OABCは，OA=BC，OB=AC，OC=ABを満たしているとし，OA=a，OB=b，OC=cとおく．三角形ABCと三角形OACの重心をそれぞれG，Hとするとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOG，ベクトルBHをそれぞれベクトルOA，ベクトルOB，ベクトルOCを用いて表せ．
(2)内積ベクトルOA・ベクトルOBをa,b,cを用いて表せ．
(3)OG⊥BHであるとき，a2+c2=3b2が成り立つことを示せ．
・・・