「四面体」について

　公立 名古屋市立大学 2014年 第2問

空間に四面体ABCDと点P，Qがあり，
\begin{array}{l}
4ベクトルPA+5ベクトルPB+6ベクトルPC=ベクトル0\
4ベクトルQA+5ベクトルQB+6ベクトルQC+7ベクトルQD=ベクトル0
\end{array}
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルAPをベクトルAB，ベクトルACを用いて表せ．
(2)三角形PABと三角形PBCの面積比を求めよ．
(3)四面体QABCと四面体QBCDの体積比を求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)四面体OABCにおいて，辺OAを1:1に内分する点をD，線分BDを3:2に内分する点をE，線分CEを3:1に内分する点をF，直線OFと平面ABCの交点をPとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとするとき，ベクトルOPをベクトルa，ベクトルb，ベクトルcで表せ．
(2)\sqrt{x2+84}が整数となるような正の整数xをすべて求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2014年 第2問

空間に四面体ABCDと点P，Qがあり，
\begin{array}{l}
4ベクトルPA+5ベクトルPB+6ベクトルPC=ベクトル0\
4ベクトルQA+5ベクトルQB+6ベクトルQC+7ベクトルQD=ベクトル0
\end{array}
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルAPをベクトルAB，ベクトルACを用いて表せ．
(2)三角形PABと三角形PBCの面積比を求めよ．
(3)四面体QABCと四面体QBCDの体積比を求めよ．

　公立 北九州市立大学 2014年 第4問

Oを原点とする座標空間内に3点A(2,0,0)，B(-2,2,0)，C(2,-2,4)がある．以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルベクトルAB，ベクトルACの大きさ|ベクトルAB|，|ベクトルAC|を求めよ．また，∠BAC=θとするときcosθの値を求めよ．
(2)3点A，B，Cの定める平面をαとし，Oから平面αに引いた垂線と平面αとの交点をHとする．また，ベクトルOH=sベクトルOA+tベクトルOB+uベクトルOC，・・・

　国立 東北大学 2013年 第2問

四面体OABCにおいて，OA=OB=OC=1とする．∠AOB=60°，∠BOC=45°，∠COA=45°とし，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおく．点Cから面OABに垂線を引き，その交点をHとする．
(1)ベクトルベクトルOHをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(2)CHの長さを求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．

　国立 東北大学 2013年 第2問

四面体OABCにおいて，OA=OB=OC=1とする．∠AOB=60°，∠BOC=45°，∠COA=45°とし，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおく．点Cから面OABに垂線を引き，その交点をHとする．
(1)ベクトルベクトルOHをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(2)CHの長さを求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．

　国立 埼玉大学 2013年 第4問

次の条件を満たす四面体ABCDを考える．
\begin{align}
&ベクトルAB・ベクトルAC=2,ベクトルAC・ベクトルAD=4,ベクトルAD・ベクトルAB=3,\nonumber\\
&|ベクトルBC|=√7,|ベクトルCD|=√5,|ベクトルDB|=√6\nonumber
\end{align}
（プレビューでは図は省略します）
次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルAB|，|ベクトルAC|，|ベクトルAD|を求めよ．
(2)点Dから3点A，B，Cを含む平面に下ろした垂線の足をHとする．ベクトルDHを\・・・

　国立 埼玉大学 2013年 第4問

次の条件を満たす四面体ABCDを考える．
\begin{align}
&ベクトルAB・ベクトルAC=2,ベクトルAC・ベクトルAD=4,ベクトルAD・ベクトルAB=3,\nonumber\\
&|ベクトルBC|=√7,|ベクトルCD|=√5,|ベクトルDB|=√6\nonumber
\end{align}
（プレビューでは図は省略します）
次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルAB|，|ベクトルAC|，|ベクトルAD|を求めよ．
(2)点Dから3点A，B，Cを含む平面に下ろした垂線の足をHとする．ベクトルDHを\・・・

　国立 金沢大学 2013年 第1問

正の実数a,b,cに対して，Oを原点とする座標空間に3点A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)がある．AC=2,BC=3かつ△ABCの面積が\frac{3√3}{2}となるとき，次の問いに答えよ．
(1)sin∠ACBの値を求めよ．また，線分ABの長さを求めよ．
(2)a,b,cの値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．また，原点Oから△ABCに下ろした垂線の長さを求めよ．
\end・・・

　国立 岩手大学 2013年 第3問

座標空間内で4点O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,3)を頂点とする四面体OABCを考える．辺AB上の点をD，辺AC上の点をE，線分DE上の点をPとする．線分DEは辺BCに平行とする．ベクトルAD=αベクトルAB，ベクトルDP=βベクトルDEとするとき，次の問いに答えよ．ただし，α,βは実数とし，0＜α＜1，0＜β＜1とする．
(1)ベクトルOPをベクトルOA，ベクトルAB，・・・